9.7. МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ ЯВЛЕНИЙ; ПОДЦИКЛЫ, УСРЕДНЕНИЕ ОРБИТ И НЕЯВНЫЕ МЕТОДЫ

Во многих приложениях необходимо изучать плазменные явления с характеристическим временным масштабом много большим, чем и возможно даже оставаясь в рамках кинетического описания. Примерами таких процессов могут служить ионно-акустическая турбулентность и электромагнитная неустойчивость Вейбеля. Моделирование с помощью крупных частиц в том виде, как оно было описано в настоящей книге выше, требует очень большого числа шагов по времени и может быть слишком дорогим. Ниже изложены три подхода к проблеме эффективного моделирования медленно эволюционирующих плазменных явлений, которое, возможно, является

наиболее быстро развивающейся новой областью исследований в моделировании плазмы с помощью крупных частиц.

Введение подциклов. Простым подходом, который обеспечивает существенную экономию времени расчетов, является введение электронных подциклов [Adam, Gourdin and Langdon, 1982]. Стандартная схема с перешагиванием используется и для электронов, и для ионов, но шаг по времени для электронов составляет часть временного шага для ионов. Для каждого цикла выполнения интегрирования во времени выполняется один цикл для ионов и несколько подциклов для электронов. Затраты времени на интегрирование уравнений движения ионов становятся пренебрежимо малыми. Движение электронов рассчитывается на их временной шкале, в то время как для более медленных массивных ионов уравнения можно интегрировать с большим шагом по времени, используя их собственное поле и отфильтрованное низкочастотное поле электронов. Эту связь различных видов частиц можно сделать центрированной по времени. Устойчивость и конструкция низкочастотного фильтра анализируются с помощью методов, изложенных в настоящей главе, и проверяются эмпирически при применении алгоритма. В отличие от неявных методов отсутствуют какие-нибудь ограничения на длину волны или градиенты поля и высокочастотные электронные волны сохраняются полностью. Хотя экономия машинного времени существенно меньше, чем при использовании неявных методов, введение дополнительных, подциклов имеет большие возможности применения. В обоих случаях для получения выигрыша предполагается такая смесь, которая имеет много общего с методами усреднения по траекториям.

Неявные схемы интегрирования. Другим подходом является поиск схем интегрирования, которые остаются устойчивыми даже при озре Это обычно требует неявных методов, в которых вычисление координат требует знания полей в тот же самый момент времени (см. задачу 9.20), а не в предшествующий момент, как в явных методах, обсуждавшихся выше. Так как поля в момент зависят от неизвестных координат уравнения для полей и частиц представляют собой очень большую систему связанных нелинейных уравнений. Для сохранения устойчивости приближенное решение должно быть очень аккуратным.

Недавно был выполнен ряд экспериментов с различными схемами точного предсказания полей на следующем шаге по времени [Mason, 1981; Friedman, Langdon and Cohen,- 1981; Denavit, 1981; Brackbill and Forslund, 1982; Langdon, Cohen and Friedman, 1983; Barnes e. a., 1983]. После их определения можно продвинуть частицы на один шаг по времени. Если новая плотность заряда не согласована с предсказанным

электрическим полем, то возможно расхождение итераций. В этом методе число связанных решаемых уравнений порядка числа ячеек сетки, а не числа частиц. Мы опишем развитие этих методов в гл. 14 и 15. Параллельная работа по разработке неявных временных разностных схем проведена в этой главе (см. § 9.8 и работу [Cohen, Langdon and Friedman, 1982 fe ]).

Существует фундаментальное ограничение в использовании электронов в виде крупных частиц [Langdon, 1979 b; Langdon, Cohen and Friedman, 1983]. При диэлектрическая проницаемость приобретает вид (см. задачу 9.24), причем растет с ростом тогда как фактически мы хотим получить зависимость Таким образом, когда мы не можем правильно отобразить даже дебаевское экранирование! Чтобы проиллюстрировать ограничения, вносимые этим условием, учтем, что величина должна быть много меньше единицы в пределе Модель, использующая уравнение Власова для электронов, может быть более практичной, чем модель с крупными частицами, если невозможно сохранить величину малой.

Ограничение на градиент электрического поля было отмечено в работе [Denavit, 1981] и подробно разработано в статье [Langdon, Cohen and Friedman, 1983]. При минимуме потенциальной энергии электроны колеблются с частотой захвата определяемой в одномерном случае по формуле Когда используемая для предсказания поля линеаризация ненадежна.

Имеется значительный накопленный опыт в неявном интегрировании по времеки уравнений течения жидкости, диффузии, химической кинетики, магнитогидродинамики и для многих других. Теперь и методы с крупными частицами также начинают использовать преимущества применения неявных методов.

Усреднение траекторий. Другие методы, созданные для улучшения эффективности программ расчета движения частиц, используют прямые преимущества широкого разделения временных масштабов, обычно присутствующего в физике плазмы. В магнитоиндуктивном алгоритме с усреднением траекторий [Cohen е. а., 1982; Cohen and Freis, 1982] частицы продвигаются с малым временным шагом, который точно отслеживает их циклотронные орбиты. Явное решение для электромагнитных полей, разделенных на излучаемые и электростатические, получается с использованием плотности тока, которая определена из данных, относящихся к частицам на каждом малом шаге и усредненных по быстрой орбитальной шкале времени. Число вычислений, приходящихся на одну частицу, не уменьшается, а реальный выигрыш получается от существенного

уменьшения требуемого числа частиц. Усредненный вклад от каждой частицы может заменить собой действие многих частиц в обычном коде. Эта увеличенная эффективность позволяет использовать реальные параметры, такие как отношение ионной циклотронной частоты к скорости замедления ионов из-за Столкновения с электронами при моделировании экспериментов с «магнитным зеркалом».

Для того чтобы применить усреднение по траекториям к модели, включающей электростатические поля, и расширить моделирование на область больших нужно использовать неявный метод вычисления поля [Cohen, Freis and Thomas, 1982].

Задача

(см. скан)