9.2. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ГОРЯЧЕЙ НЕЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЫ; АЛГОРИТМ С ПЕРЕШАГИВАНИЕМ

Рассмотрим возмущения однородной, бесконечной или периодической, незамагниченной однокомпонентной плазмы с неподвижным нейтрализующим фоном. Мы анализируем коллективное движение плазмы, т. е. делаем иной акцент, чем в обычной литературе по численному анализу, в которой по-другому рассматриваются точность и скорость вычислений. Например, задача с начальными условиями для обычных дифференциальных уравнений изучена весьма хорошо и разработано много очень точных алгоритмов ее решения. Такие методы использовались, например, для описания движения одной частицы при изучении структуры магнитных полей в установках по управляемому термоядерному синтезу. Методы, используемые при моделировании многих частиц, могут показаться сравнительно простыми. Однако, что важно отметить, нужно обеспечить точность описания коллективного движения многих частиц, отражающего поведение плазмы, а не траектории отдельной частицы. При ограниченных возможностях ЭВМ обычно лучше использовать простые и быстрые разностные алгоритмы, чем, скажем, иметь меньшее число частиц. Даже некоторые ошибки в коллективном движении, например в частотах колебаний, могут быть приемлемыми, если количественно понятны их последствия и программы сохраняли определенные физические свойства системы. Например, в то время как многие успешно работающие коды не являются точно обратимыми во времени, опыт показывает, что можно устранить неприемлемые виды ошибок, если обеспечить точную обратимость в разностных уравнениях [Buneman, 1967].

Кажется более разумным работать с отклонениями от стационарных орбит, вызванными действием полей, чем строить конечно-разностный аналог уравнения Власова [Lindman, 1970; Godfrey, 1974]. Соответствующие характеристики, как, например, ограничения линеаризованного анализа, получаются более явно. Без всякого усложнения теория применима к схемам интегрирования по времени уравнений движения третьего и более высоких порядков, так что для описания системы из частиц в трехмерном случае необходимо фазовое пространство размерностью или больше вместо и к алгоритмам, не сохраняющим фазовый объем при движении частиц (см. § 9.8, в частности задачи 9.22 и 9.23). Мы сохраняем физическое содержание приближения Власова, но выполняем его функции другими средствами.

В приближении Власова частицы двигаются по прямым линиям, несущественно возмущенным столкновениями. Вычислим отклонение частицы от этой прямой линии, вызванное действием электрического поля вида

при начиная с невозмущенного состояния плазмы при Обобщение на случай нескольких видов частиц и для станет ясным ниже.

Разностные уравнения движения частицы (см. § 2.4) имеют вид

Ясно, что этот алгоритм сохраняет фазовый объем, так как изменения скорости и координаты являются просто сдвигами в фазовом пространстве. Разделяя х и у на невозмущенную и возмущенную части, т. е. исключая и линеаризуя уравнения, имеем

где В левой части уравнения выпадает, в правой части поле берется при невозмущенном значении координаты в качестве условия линеаризации используется следующее:

Это условие ниже вновь появится в вычислениях и заменит более строгое условие

обычно используемое в литературе [Jackson, 1960] и являющееся достаточным условием для линеаризации уравнения Власова. Условие (9.5) достаточно для линеаризованных вычислений возмущения плотности заряда а (9.6) предполагает вычисление плотности в фазовом пространстве Успешное использование линейной теории при возмущениях, для которых нарушается выполнение условия (9.6), можно понять с помощью анализа лагранжиана. Например, инкременты для неустойчивости встречных холодных пучков точно вычисляются при выполнении (9.5), тогда как (9.6) не выполняется для холодных пучков при любых амплитудах возмущений.

Правая часть соотношения (9.4) меняется во времени по закону

представляющему определение изменяется аналогично. Из-за условия при не возникает никаких линейных по времени членов. Подставляя эту зависимость в левую часть (9.4), получаем решение

Мы получили явную зависимость от Исходя из возмущения траектории, вычислим результирующее. возмущение плотности заряда. Эту плотность можно представить как результат смещения частиц от их невозмущенных координат на величину рассматривающийся как суперпозиция монополей с зарядом в точке и диполей, состоящих из заряда а в точке в точке т. е. дипольный момент локализован в точке Плотность монополей компенсируется нейтрализующим фоном. Плотность диполей в приближении Власова получается усреднением по распределению по скоростям:

где невозмущенные плотность заряда и функция распределения по скоростям. Для получения изменения плотности заряда рассмотрим произвольный объем V и частицы, движущиеся из положения Изменение заряда возникает из-за частиц, пересекающих граничную поверхность

Следовательно, плотность заряда определяется соотношением

и изменяется аналогично соотношению (9.1). Этот результат также основывается на предположениях, что Используя (9.8) и (9.9), выразим поляризацию в терминах восприимчивости

Учитывая равенство (9.11) и теорему Гаусса, получаем дисперсионное уравнение в виде

где дисперсионная функция имеет вид

здесь — плазменная частота в рационализованной системе единиц СГС (Хевисайда-Лоренца) [Panofsky and Phillips, 1962; Jackson, 1975].

Второе выражение получается интегрированием по частям и в пределе сводится к известным результатам [Jackson, 1960]. Дисперсионная функция играет обычную роль при получении других результатов, например по экранированию и флуктуациям (см. гл. 12). В многокомпонентной плазме каждая компонента дает аддитивный вклад в х в выражении (9.13).

Член в (9.14) напоминает нам, что это соотношение выведено в предположении но может быть использовано для действительных со или даже для затухающих колебаний аналитическим продолжением вдоль или ниже оси действительных как это делается при обычном анализе затухания Ландау [Jackson, 1960]. Это можно показать формально из решения задачи с начальными условиями с использованием -преобразования [Jury, 1964] аналогично способу Ландау с использованием преобразования Лапласа. В общем случае означает предел выражения при со стороны действительных положительных значений. Мнимую часть находят из задачи (9.2).

Для холодной движущейся плазмы из (9.14) получаем

Предполагается, что выбором можно обеспечить сохранение в рассмотрении только членов с ошибкой порядка Это

справедливо также и в случае горячей плазмы. Разлагая котангенс в (9.15), получаем

где обычная дисперсионная функция для непрерывного времени. Влияние члена порядка на решения со дисперсионного уравнения дает такое же слабое увеличение частоты, как и в (9.16). Отсутствие членов, пропорциональных является следствием обратимости уравнений движения [Buneman, 1967].

Обычный вид для получается при использовании разложения котангенса, справедливого всюду на комплексной плоскости [Abramowitz and Stegun, 1964]:

т. e. где восприимчивость при непрерывном времени; частота, характеризующая «сеточное» время. Каждый член в сумме аналогичен обычному непрерывному с заменой со на Если мы можем вычислить для некоторых то можно также вычислить используя тот ряд, чья сходимость может быть ускорена Например, для максвелловского распределения с дрейфовой скоростью и тепловой скоростью имеем

где — частота с учетом наложения [Hamming, 1962; Blackman and Tukfey, 1958], a Z - производная дисперсионной функции [Fried and Conte, 1961]. Эта форма записи удобна для вычислений на так как компьютерные программы для вычисления весьма доступны.

Перед анализом решений этого дисперсионного уравнения сделаем небольшое отступление для обсуждения наложения частот и его следствиях. Спутники частоты удовлетворяют соотношению при всех целых Значения это различные частоты, которые дают одинаковые изменения величин, определенных только в моменты на временной сетке. Эта эквивалентность отражена в нашей теории периодичностью всех величин как функций те. периодичностью с Бесконечность числа полюсов в подынтегральном выражении (9.15) не предполагает наличия

Рис. 9.1. Зависимость расположения численных решений от для максвелловского распределения скоростей при и в пренебрежении эффектами пространственной сетки, штриховая линия — единичная окружность. При имеем решение для простого гармонического осциллятора При нарастании решение сдвигается влево, оставаясь в пределах единичной окружности, затем устремляется к оси пересекая ее при 1,45, и затем удаляется от оси. Корень, движущийся влево вдоль действительной оси, становится неустойчивым при (см. § 9.4). При в рассматриваемом примере оба корня движутся вместе к все более затухая

Рис. 9.2. Действительные и мнимые части в случае решения, представленного на рис. 9.1. Показан один период Нижняя и верхняя кривые для соответствуют и наложению при — сор. Для сравнения показаны решения в пределе непрерывного времени для соответствующих параметров. Приближение, даваемое формулой (9.17), выглядит довольно точным до тех пор, пока не достигнет несмотря на большие значения превышающие обычно используемые на практике

более одного резонанса, и из периодичности 8 не следует существования новых видов колебаний.

Часто полезно заменить переменную со на величину (поворот в единицу времени); это устраняет периодичность и множественность дисперсионных корней. Решения с наименьшим затуханием для полученные из (9.19), показаны на рис. 9.1 для случая довольно большого временного шага, точное значение которого выбрано для последующего сравнения с решениями при непрерывном времени. При решение соответствует плазменным колебаниям с . С ростом корни изгибаются влево, затем в направлении отрицательной действительной полуоси, где они быстро смыкаются и уходят дальше вдоль действительной оси. Один из корней двигается слегка влево, затем следует за другим корнем к началу координат.

Это взаимодействие двух ветвей плазменных колебаний является нефизическим следствием периодичности, введенной численными методами. После встречи корней, однако,

порядка единицы, так что моды сильно затухают и их взаимодействием можно пренебречь.

Исследуем теперь решения дисперсионного уравнения на плоскости Мы выбрали со таким образом, чтобы при решения имели вид плюс накладывающиеся частоты. На рис. 9.2 показаны ветвь, проходящая через плюс накладывающаяся частота с , а также ветвь, проходящая через Показан один период все равны между собой. Для пояснения точности выражения (9.17) приводится также решение для дисперсионного соотношения при непрерывном времени, где выбрано из условия задания временного шага при моделировании. При решения совпадают в пределах 1%. Для больших порядка эффекты наложения частот являются определяющими и простая коррекция становится несправедливой. При решение встречается с решением, вызванным наложением частот; это взаимодействие уже описано выше и не приводит к каким-либо последствиям из-за сильного затухания мод.

При одна мода становится неустойчивой, как показано в § 9.4.

Задачи

(см. скан)