9.4. ЧИСЛЕННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

При анализе влияния пространственной сетки в гл. 8 была обнаружена неустойчивость, связанная с резонансом частиц при малых фазовых скоростях накладывающихся волн, т. е. при Конечный временной шаг вводит новые резонансы, и мы должны будем рассмотреть приведет ли это к нежелательным последствиям или нет. При рассмотрении только временного наложения никаких аналогичных неустойчивостей не возникает. Если положить без потери общности, что то фазовые скорости накладывающихся волн будут больше по величине и их вклад в будет меньше, чем члена с ответственного за затухание Ландау. Фактически, только когда возможен резонанс более чем одного члена в формуле (9.18) с частицами, имеющими соответствующие фазовые скорости. Даже для больших значений мы не обнаружим никаких неустойчивостей такого вида.

Теперь рассмотрим неустойчивость, которая возникает в линейной теории, и неустойчивость нелинейных колебаний.

Сначала обсудим линейную неустойчивость. При как следует из (9.16), неустойчивость имеет место для холодной плазмы. Покажем, что дисперсия Бома-Гросса уменьшает порог неустойчивости, со и При подстановке этого соотношения в (9.23) дисперсионное уравнение принимает вид

Значение которое максимизирует правую часть равенства, показывает, когда плазма впервые станет неустойчивой с ростом Неустойчивость возникает при а (см. задачу 9.7).

Можно ожидать, что в эту неустойчивость будут вовлечены частицы, проходящие больше половины длины волны за один шаг по времени и видящие поэтому очень искаженные изменения поля. Такая ситуация может вызвать ошибки (см. § 9.7). Однако при возникновении этой неустойчивости тепловые частицы проходят менее одной пятой длины волны за временной шаг. То, что происходит, не есть дестабилизация одной моды, а представляет собой нефизическое взаимодействие из-за наложения частот двух плазменных колебаний. Неустойчивость может произойти, когда одна ветвь дисперсионной кривой близко подойдет к гармонике другой ветви, как показано на рис. 9.1 и 9.2.

С ростом неустойчивость усиливается и имеет место при больших длинах волн, достигая значения при При численном моделировании в этом режиме пороговое значение также изменится под действием алгоритма расчета поля, использующего пространственную сетку.

Некоторые примеры можно получить, используя одномерый код ESI со следующими параметрами: длина периода ячейки сетки, и 4096 частиц. Для достижения «спокойных» нетепловых начальных условий 128 частиц размещаются в первой ячейке с максвелловским распределением скоростей. Эти частицы транслируются затем в другие ячейки. К скорости каждой частицы добавляется малая случайная величина порядка Такое возмущение может привести к нарастанию неустойчивости. Для вторая гармоника Фурье нарастает быстро, как и предсказывает теория, с Вихри захвата образуются вокруг значений скорости ±71, резонансных с колебаниями, так как кратно 271. Насыщение второй моды достигается при в момент кинетическая энергия в 1,8 раза больше начального значения и быстро нарастает со сверхтепловым «хвостом» в распределении по скоростям. При уменьшении до 1,6 уровни насыщения для второй моды и полная энергия поля быстро уменьшаются, что увеличивает кинетическую энергию. При и 1,5 (ниже порога) энергии мод насыщаются до значений, близких к тем, которые получаются при шумовых, случайных начальных условиях (скорости некоррелированы). Выводы, сделанные в этом параграфе, согласуются с предсказаниями линейной бесстолкновительной теории.

При вторая мода все еще наиболее быстро достигает насыщения. Это может быть связано с теоретическим результатом, согласно которому спектр флуктуаций, пропорциональный превышается для параметров ниже бесстолкновительного порога. Такие результаты выходят за рамки настоящей главы, но мы можем подтвердить эмпирическое наблюдение [Hockney, 1971], что большие приводят к высоким уровням шума и быстрому нефизическому нагреву.

Предсказания линейной теории лучше подтверждаются в случае прямоугольного распределения при при из-за проявления нелинейных эффектов (захват частиц) при больших амплитудах, чем в случае максвелловского распределения. Нестабильность имеет место при

Мы исследовали с помощью ESI два случая: при при Другие параметры оставались неизменными. В обоих случаях мода 1 была устойчива, а мода 2 демонстрировала экспоненциальное нарастание до насыщения, при котором начинается захват частиц. Во втором случае насыщение имеет место при меньшей амплитуде, так как фазовая скорость ближе к скорости частиц. Ясно, что большие сдвиги частоты Бома — росса, возможные из-за резких краев распределения, вызывают неустойчивость созданием больших колебаний частот вблизи

Авторы полагают, что разрушительные неустойчивости имеют место только при таких экстремальных условиях, когда можно ожидать неприятностей, даже не имея формальной теории.

Рассмотрим теперь нелинейную неустойчивость. Для нелинейного осциллятора ускорение будет несинусоидальным и будет содержать много гармоник фундаментальной частоты колебаний. Если налагающаяся гармоника близка к основной частоте, то колебание может отклониться от правильного результата. Например, рассмотрим осциллятор вида где полином Чебышева вида [Abramowitz and Stegun, 1964], так что нелинейный член содержит только шестую гармонику, когда х изменяется синусоидально с единичной амплитудой. Начиная с так чтобы один период содержал шагов по времени при мы на опыте установим, что амплитуда вначале возрастает при и уменьшается при как и предсказывается анализом, в котором рассматривается решение вида где и медленно меняющиеся переменные. При малом 5 эти случаи проявляют периодическое поведение (предельные

циклы). Например, при энергия уменьшается примерно на 30% и затем почти возвращается к начальному значению; время повторения равно Отношение энергий не зависит от 8, так что даже малая нелинейность может вызвать значительную ошибку. Неустойчивость наблюдается также при Обычно неустойчивость ассоциируют с увеличением амплитуды, но уменьшение также может быть опасно как отклонение от правильного поведения системы.

Задачи

(см. скан)