5.6. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ДВУХПУЧКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Рассмотрим два противоположно направленных потока заряженных частиц, как это схематически показано на рис. 5.6. Модели с относительным движением между двумя системами или потоками заряженных частиц изучались во всех деталях начиная с работ [Haeff, 1949; Pierce, 1948]. Полное понимание нелинейного поведения противоположных потоков пришло много позже — после моделирований, выполненных в работе [Dawson, 1962]. Жидкостный аналог со литонов был дан намного раньше — в 80-х годах прошлого столетия Герцем, об этом можно получить исчерпывающую информацию в книгах по гидродинамике и акустике [Lamb, 1945; Rayleigh, 1945]. Можно легко показать, что система противоположных потоков неустойчива. Когда два потока двигаются друг через друга, причем одна длина волны проходит за один период нлазменной частоты, то возмущение плотности в одном потоке подкрепляется силами, возникающими из-за группировки частиц в другом потоке, и наоборот; следовательно; так что возмущение нарастает во времени экспоненциально. Это простое соотношение было получено в 1948 г. профессором Chodorow в Стэнфордском университете (и содержалось в неявном виде в диссертации [Birdsall, 1951]) для двух потоков, движущихся в одном направлении [Chodorow, 1964].

Фазовое соотношение, необходимое для усиления, представим в виде

где в случае относительной скорости получаем

Это очень близко к тому, что получается из точного анализа для максимального инкремента.

Продольную линейную диэлектрическую проницаемость для двух независимых холодных потоков можно получить, как это было сделано в § 5.3, используя уравнения движения и непрерывности отдельно для каждого потока и добавляя токи каждого потока в уравнение поля. Результат для двух потоков с дрейфовыми скоростями имеет вид

Этот результат также получается непосредственно из обычной системы Власова — Пуассона при задании распределения скорости в виде двух -функций:

Рис. 5.6. Два противоположных потока в лабораторной системе отсчета два потока в фазовом пространстве в начале задачи при и потоки в пространстве скоростей при

Система из независимых холодных потоков дает сумму по потокам (или индексу

Обобщение суммы на интеграл при должно выполняться аккуратно, как это было аналитически сделано в работе [Dawson, 1980], а при аппроксимации гладкого распределения в моделировании набором дискретных пучков — в работах [Byers, 1970; Gitomer and Adam, 1976]; подробности обсуждаются ниже, в гл. 16.

Решения для комплексной частоты и действительного волнового вектора к, т. е. абсолютная неустойчивость для случая одинаковых, но противоположно направленных потоков, у которых получаются из уравнения Это уравнение четвертой степени с четырьмя независимыми решениями вида

Для (5.55) справедливы следующие характеристики корней:

Рис. 5.7. Дисперсионная диаграмма для двух одинаковых противоположных потоков: действительных к и комплексных Несвязанные волны пространственного заряда показаны штриховыми линиями. Для каждого к существует четыре значения которые соответствуют четырем линейно независимым волнам

Рис. 5.8. Инкремент для двух противоположных потоков

Указанное поведение схематически показано на рис. 5.7, изменение приведено на рис. 5.8 более детально. В этой модели, где есть нарастание при получаем в случае максимального инкремента. Отсутствие осциллирующей части при нарастании возмущения свидетельствует о том, что не все правильно описано. Смысл рис. 5.8 состоит в пояснении существования минимальной длины неустойчивости в этой модели необходимо выполнение условия

для того чтобы получить нарастание. Это то же самое, что и условие (5.56), если использовать где наименьшее волновое число системы. Нарастание, которое начинается при малой амплитуде, продолжается, пока течение не разрушится; в конце процесса распределение скоростей частиц становится почти максвелловским. Следовательно, мы говорим, что «сталкивающиеся потоки термализовались», но не посредством столкновений частиц. Коллективные эффекты на длинных волнах (к значительно больше расстояния между частицами) создаютбольшие электрические поля, рассеивающие частицы в фазовом пространстве.

С ростом неустойчивости в графике зависимости заметны два изменения (см. рис. 5.6) для Ширина каждого пучка увеличивается [измеряют ширину прямо на графике или значением для одного потока], что рассматривается как увеличение температуры каждого пучка (но если бы электрическое поле было вдруг выключено — и вы должны были бы попробовать это сделать при моделировании, разброс может уменьшиться). Дрейфовая или средняя скорость уменьшается. Поскольку увеличивается, уменьшается, можно ожидать, что условия линейной стадии неустойчивости будут нарушены, экспоненциальный рост прекратится (как это показано в работе [Stringer, 1964]), а порог нарастания для двух электронных пучков будет достигнут при Однако в момент достижения порога условия линейности уже существенно нарушены возмущением плотности заряда, сравнимым с невозмущенным значением; частицы в каждом потоке почти пересекают своих соседей и сворачиваются в вихри в фазовом пространстве, т. е. становятся захваченными. Следовательно, нарастание продолжается, хотя можно ожидать изменения в характере нарастания, например отхода от экспоненциального роста во времени в момент, когда превышает Это следует помнить при выполнении задания. Конечно, ESI может легко быть запущена с горячими пучками, при этом следует показать нарастание при и устойчивость при

Задачи

(см. скан)

(см. скан)