Главная > Физика плазмы и численное моделирование
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

11.2. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МУЛЬТИПОЛЯМ

Рассмотрим сначала метод мультипольного моделирования в целом, а затем исследуем точность и отдельные формы метода (монопольный, дипольный, квадрупольный). Оригинальными работами на эту тему являются [Kruer, Dawson, Rosen, 1973; Chen, Okuda, 1975; Okuda, 1977].

Мультипольному методу предшествует алгоритм вычисления поля, в котором частица рассматривается как облако конечных размеров, а поле представляется в виде ряда Фурье [Dawson, 1970]. При этом сила, действующая на частицу, равна

где - длина одномерной системы, а сглаживающий множитель выбран в виде Эта сумма вычисляется для каждой частицы. Разложение Фурье плотности заряда имеет вид

откуда следует, что Этот метод дает плавное изменение полей, но с увеличением пространственного разрешения (и тем самым числа гармоник Фурье) объем вычислений на частицу растет.

Для ускорения процесса вычисления силы используется пространственная сетка. Сила, действующая на частицу, получается при разложении в ряд Тейлора экспоненты в формуле (11.1):

где - координата ближайшего к частице узла сетки. Эту силу можно записать в виде

Производные силы задаются выражением

где

Величины получаются из при помощи быстрого преобразования Фурье (БПФ); затем для каждой частицы вычисляется

Точно так же вычисляются при помощи разложения в ряд Тейлора экспоненты в формуле (11.2):

где внешнее суммирование проводится по узлам сетки, а внутренняя сумма берется по частицам, ближайшим к узлу, и ее можно записать в виде разложения по мультиполям:

где

— плотность мультиполя. Первые две из этих величин назовем монопольной плотностью

(это то же самое, что плотность в методе и дипольной плотностью

Наконец, выражение (11.8) принимает вид

где

вычисляется при помощи быстрого преобразования Фурье.

Для того чтобы записать вычисление силы в виде мультипольного кода, следует из отдельных частиц собрать мультипольные плотности (11.9), преобразовать (11.11) и сложить их (11.10), что и приводит к величине после этого вычисляется Производные силы вычисляются при помощи (11.5) и (11.6) через величины Сила, действующая на каждую частицу, получается при помощи суммы (11.4). На рис. 11.1 показана вся схема в целом.

Оценим объем памяти и число БПФ при одномерном вычислении силы с использованием моментов от до В каждом узле сетки вычисляется величина: плотности и производные силы В целом для этого необходимо действительное преобразование, которое обычно выполняется парами комплексных преобразований (приложение А). Если координаты частиц записываются во внешней памяти типа вращающегося магнитного диска, то вычислять новые плотности лучше при перемещении частиц на их новые места, иначе придется просматривать список частиц дважды на каждом временном шаге. В этом случае в оперативной памяти должны содержаться как старые силы, так и новые плотности и в каждом узле необходимо запоминать величину. В

Рис. 11.1. Метод разложения по мультиполям начинается с координат частиц затем следует преобразование Фурье сеточных плотностей заряда, еще разложение моментов силы и вычисление силы, действующей на частицу. Диполь соответствует квадруполь

одном измерении сделать это намного проще, чем в двух, где становятся векторами. В двухмерном квадрупольном коде в каждом узле сетки нужно запоминать 18 величин и делать 18 двухмерных действительных преобразований Фурье (см. задачу 11.1). Еще более впечатляют потребности электромагнитного кода (см. задачу 11.2).

На практике мультипольные коды часто использовались в монопольном (т. е. режиме и редко учитывалось что-нибудь большее, чем диполи. Соответственно в наших обсуждениях и вычислениях мы не будем заходить дальше

Сравним теперь пространственное изменение поля сил в дипольном приближении и в стандартном методе линейной интерполяции. В последнем случае сила будет непрерывной и кусочно-линейной, как показано на рис. 11.2. В методе мультипольного разложения сила в окрестности ближайшего узла дается в виде ряда Тейлора (11.4). Вблизи узла точность хорошая, но она быстро ухудшается при приближении к границе между ячейками. Более того, после пересечения частицей границы разложение выполняется в новом узле сетки. Следовательно, сила разрывна на границе (рис. 11.3). Как мы

Рис. 11.2. Условное изображение взвешивания силы на сетке с линейной интерполяцией между узлами. Для любых х сила непрерывна, но разрывна в точках

Рис. 11.3. Сила в дипольном методе так и разрывны на границах ячеек

увидим в § 11.6 и 11.7, вредное влияние этого разрыва приводит к увеличению ошибок наложения. На практике величину этого скачка (см. задачу 11.3) уменьшают, выбирая параметр Для фиксированной гармоники это не приводит к уменьшению скачка по отношению к самой силе. Однако для малых длин волн при некоторой потере разрешения обе величины уменьшаются.

Задачи

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru