11.2. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МУЛЬТИПОЛЯМ

Рассмотрим сначала метод мультипольного моделирования в целом, а затем исследуем точность и отдельные формы метода (монопольный, дипольный, квадрупольный). Оригинальными работами на эту тему являются [Kruer, Dawson, Rosen, 1973; Chen, Okuda, 1975; Okuda, 1977].

Мультипольному методу предшествует алгоритм вычисления поля, в котором частица рассматривается как облако конечных размеров, а поле представляется в виде ряда Фурье [Dawson, 1970]. При этом сила, действующая на частицу, равна

где - длина одномерной системы, а сглаживающий множитель выбран в виде Эта сумма вычисляется для каждой частицы. Разложение Фурье плотности заряда имеет вид

откуда следует, что Этот метод дает плавное изменение полей, но с увеличением пространственного разрешения (и тем самым числа гармоник Фурье) объем вычислений на частицу растет.

Для ускорения процесса вычисления силы используется пространственная сетка. Сила, действующая на частицу, получается при разложении в ряд Тейлора экспоненты в формуле (11.1):

где - координата ближайшего к частице узла сетки. Эту силу можно записать в виде

Производные силы задаются выражением

где

Величины получаются из при помощи быстрого преобразования Фурье (БПФ); затем для каждой частицы вычисляется

Точно так же вычисляются при помощи разложения в ряд Тейлора экспоненты в формуле (11.2):

где внешнее суммирование проводится по узлам сетки, а внутренняя сумма берется по частицам, ближайшим к узлу, и ее можно записать в виде разложения по мультиполям:

где

— плотность мультиполя. Первые две из этих величин назовем монопольной плотностью

(это то же самое, что плотность в методе и дипольной плотностью

Наконец, выражение (11.8) принимает вид

где

вычисляется при помощи быстрого преобразования Фурье.

Для того чтобы записать вычисление силы в виде мультипольного кода, следует из отдельных частиц собрать мультипольные плотности (11.9), преобразовать (11.11) и сложить их (11.10), что и приводит к величине после этого вычисляется Производные силы вычисляются при помощи (11.5) и (11.6) через величины Сила, действующая на каждую частицу, получается при помощи суммы (11.4). На рис. 11.1 показана вся схема в целом.

Оценим объем памяти и число БПФ при одномерном вычислении силы с использованием моментов от до В каждом узле сетки вычисляется величина: плотности и производные силы В целом для этого необходимо действительное преобразование, которое обычно выполняется парами комплексных преобразований (приложение А). Если координаты частиц записываются во внешней памяти типа вращающегося магнитного диска, то вычислять новые плотности лучше при перемещении частиц на их новые места, иначе придется просматривать список частиц дважды на каждом временном шаге. В этом случае в оперативной памяти должны содержаться как старые силы, так и новые плотности и в каждом узле необходимо запоминать величину. В

Рис. 11.1. Метод разложения по мультиполям начинается с координат частиц затем следует преобразование Фурье сеточных плотностей заряда, еще разложение моментов силы и вычисление силы, действующей на частицу. Диполь соответствует квадруполь

одном измерении сделать это намного проще, чем в двух, где становятся векторами. В двухмерном квадрупольном коде в каждом узле сетки нужно запоминать 18 величин и делать 18 двухмерных действительных преобразований Фурье (см. задачу 11.1). Еще более впечатляют потребности электромагнитного кода (см. задачу 11.2).

На практике мультипольные коды часто использовались в монопольном (т. е. режиме и редко учитывалось что-нибудь большее, чем диполи. Соответственно в наших обсуждениях и вычислениях мы не будем заходить дальше

Сравним теперь пространственное изменение поля сил в дипольном приближении и в стандартном методе линейной интерполяции. В последнем случае сила будет непрерывной и кусочно-линейной, как показано на рис. 11.2. В методе мультипольного разложения сила в окрестности ближайшего узла дается в виде ряда Тейлора (11.4). Вблизи узла точность хорошая, но она быстро ухудшается при приближении к границе между ячейками. Более того, после пересечения частицей границы разложение выполняется в новом узле сетки. Следовательно, сила разрывна на границе (рис. 11.3). Как мы

Рис. 11.2. Условное изображение взвешивания силы на сетке с линейной интерполяцией между узлами. Для любых х сила непрерывна, но разрывна в точках

Рис. 11.3. Сила в дипольном методе так и разрывны на границах ячеек

увидим в § 11.6 и 11.7, вредное влияние этого разрыва приводит к увеличению ошибок наложения. На практике величину этого скачка (см. задачу 11.3) уменьшают, выбирая параметр Для фиксированной гармоники это не приводит к уменьшению скачка по отношению к самой силе. Однако для малых длин волн при некоторой потере разрешения обе величины уменьшаются.

Задачи

(см. скан)