2.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ

Зная плотности заряда и тока, заданные в узлах сетки, можно определить электрические и магнитные поля в общем виде, из уравнений Максвелла, где используются как источники. Предполагая выполнение условия так что мы изложим в этом параграфе метод расчета поля в одномерном электростатическом случае. Независимую пространственную переменную обозначим через х. Основные дифференциальные соотношения для поля имеют вид

с учетом соотношений (2.13) и (2.14) получаем уравнение Пуассона

С использованием разностной сетки, показанной на рис. 2.6, выражения (2.13) и (2.15) запишем в виде

Последнее соотношение легко представляется в матричной форме:

Мы должны использовать значения при известных для получения неизвестных а затем и величин (индекс изменяется от до где длина системы из узлов). Используя граничные условия при получаем, что число неизвестных величин соответствует числу имеющихся уравнений, следовательно, задача полностью определена и имеет единственное решение. Численные методы решения уравнения Пуассона изложены в гл. 4.

Очень мощным средством для периодических систем является

Рис. 2.6. Одномерная разностная сетка с плоскостями, размещенными при и однородно распределенными в пространстве. Плотность заряда потенциал и электрическое поле определяются только в точках

Рис. 2.7. Возможная последовательность действий при решении уравнения Пуассона с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ) и обратного ему (ОБЛФ)

использование дискретного преобразования Фурье для всех сеточных величин. Этот подход также обеспечивает пространственную спектральную информацию по и которая весьма полезна при сопоставлении результатов численного моделирования с теорией плазмы и служит для контроля сглаживания спектра полевых величин. Изложим некоторые детали этого метода, являющегося основой для определения поля в программе ESI.

Способность эффективно выполнять преобразование Фурье с помощью использования быстрого преобразования Фурье изобретения 60-х годов — является основным фактором в этом вычислении. Ключом к решению задачи является предположение, что имеют Фурье-преобразования где k — волновой вектор в ядре Фурье-преобразования, тем самым мы предполагаем выполненными определенные граничные условия — периодические, которые подробно рассмотрены ниже. Это допущение позволяет определить из в одномерном случае по очень простой формуле:

Следующим шагом является выполнение обратного преобразования Фурье для получения и затем Общая последовательность действий дана на рис. 2.7. Читатель может заметить, что легко прямо вычислить ; мы рассмотрим эту возможность ниже. Сложность выполнения этой процедуры состоит в том, что мы имеем дискретное преобразование Фурье: знаем только в точках т. е. всего в точках.

Решение уравнения Пуассона, использующее конечные ряды Фурье, начинается с применения преобразования Фурье к плотности заряда, определенной в узлах сетки, т. е. к последовательности величин где Пусть сеточные функции представляющие собой поле потенциал или плотность заряда являются периодическими с периодом т. е. тогда конечное дискретное преобразование Фурье имеет вид

где суммирование идет по точкам Обратное преобразование представляется суммированием по и определяется выражением

позволяющим получить значений Достоинством БПФ является его способность быстро выполнять суммирование по формулам (2.20) и (2.21). Используя написанные выше ряды для совместно с системой конечноразностных уравнении (2.16) и (2.17), получаем

где

и

Здесь

Конечно-разностные члены сходятся к решению дифференциального уравнения при увеличении числа узлов сетки, когда Влияние пространственной сетки как на точность решения (например, на зависимости от от так и на создание эффекта наложения частот (при взаимодействии возникают такие значения, что и они воспроизводятся на сетке неправильно, накладываясь на частоты, с рассмотрено детально ниже при описании теории моделирования. Обсуждение различий между использованием дано в приложении.

С учетом того, что величин преобразуются в величин и затем получается величин последовательность решения, изображенная на рис. 2.7, остается справедливой; сначала обычно выполняется одним из способов преобразование Фурье, затем проводится деление на обратное преобразование и, наконец, определяется градиент [дифференцирование в конечных разностях соотношения (2.16) от Имеется величин минимального — длина системы, см. рис. 2.1) до максимального и таких же отрицательных значений, или в терминах длин волн

Задачи

(см. скан)

(см. скан)