5.10. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ПЛАЗМЕННО-ПУЧКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Эта модель рассматривает пучок, инжектируемый в стационарную плазму, и хорошо изучена теоретиками и исследователями, использующими численные методы. Существует множество вариантов постановки задачи: холодная или горячая плазма, слабый или сильноточный пучок, конвективная или абсолютная неустойчивость, линейные, квазилинейные и нелинейные эффекты, периодическая или безграничная модель и т. д. Рассмотрим только один или два случая, относящихся к абсолютной неустойчивости в периодической модели. Различные варианты этой задачи читатель может исследовать самостоятельно.

После исследования двухпотоковой неустойчивости естественно перейти к изучению плазменно-пучковой системы. Первые теоретические и экспериментальные результаты по усилению были получены в работе [Boyd е.а.; 1958]. При инжекции электронного пучка в длинную газоразрядную трубку было получено усилие СВЧ-сигнала сантиметрового диапазона. Перед вводом в плазму поток модулировался, а на выходе из плазмы модуляция усиливалась. Прибор вызвал большой интерес возможностью генерации миллиметровых волн, так как пучок проходил через плазму и не требовалось использование замедляющей системы с малыми геометрическими размерами, которая могла быть повреждена интенсивным электронным пучком. В более поздней работе [Gentle and Lohr, 1973] были рассмотрены нелинейные эффекты. Эта задача до сих пор представляет интерес для исследователей.

С физической точки зрения плазменно-пучковая неустойчивость аналогична двухпоточной, рассмотренной в § 5.6. Все те же идеи можно использовать здесь, если ввести новую систему координат. Основным отличием будет то, что плотность пучка существенно меньше плотности плазмы т. е. (модель слабого пучка).

Вначале рассмотрим взаимодействие между электронами при неподвижном ионном фоне, т. е. при

Рис. 5.15. Приближенная (без учета связи) дисперсионная диаграмма для модели слабого пучка плазменная частота и скорость пучка; плазменная частота плазмы; -линии электронного пучка: -линия колебаний электронов плазмы. Связь между волнами пространственного заряда пучка и колебаниями плазмы возникает в областях

Дисперсионные зависимости для плазмы и пучка без учета их связи показаны на рис. 5.15. Доминирующей частотой, естественно, будет сорр, и основной интерес представляет область волновых векторов вблизи

Для холодной плазмы и холодного пучка дисперсионное уравнение имеет вид

Вводя нормированные переменные, определяемые соотношениями

уравнение (5.81) запишем в виде, удобном для решения:

Предположим, что -действительная величина, и решим уравнение (5.83) относительно комплексных значений получим для каждого К четыре значения Решения показаны на рис. 5.16 для значений Отметьте необходимость использования программы построения графиков и вычисления корней уравнений. На рис. 5.17 показаны значения максимального инкремента а также юг и к, где Видно, что вначале отношение растет как (слабый пучок), а затем как (сильный пучок). Граница между этими зависимостями определяется на глаз или же приравниванием этих двух величин, откуда имеем

как показано на рисунке. Эту границу не следует воспринимать всерьез. Она только указывает на переходную область от трехволнового взаимодействия с (см. рис. 5.16, а и б) к четырехволновому с (см. рис. 5.16, в).

Для слабых пучков видно, что максимальный инкремент достигается вблизи точки синхронизма В (см. рис. 5.15), причем Заметим, что даже очень слабый пучок с плотностью, в раз меньшей плотности плазмы, создает заметную неустойчивость — в этом случае инкремент равен

Рис. 5.16. Действительные и мннмые корни дисперсионного уравнения (5.83) для различных значений в —0,1. На рис. 5.16,а парные комплексные корни помечены буквами а а остальные корни — чисто действительные. Корни с не показаны

на один плазменный период, т. е. имеет место нарастание в 10 раз за 5,5 периода. Более точные результаты приведены в работе [Bers, 1972]. Для сильных пучков взаимодействие из точек показанных на рис. 5.15, распространяется в точки (рис. 5.18) и трехволновое взаимодействие переходит в четырехволновое с . В этом случае необходимо разобраться с проблемой нейтральности системы. Неравенство (5.23) подразумевает, что плотность электронного пучка больше не равна плотности электронов фоновой плазмы; последняя обычно полагается равной фоновой плотности ионов, теперь же этого недостаточно для нейтральности системы. Следовательно, в плазме плотность ионов должна быть больше плотности электронов:

Это существенно отличается от наших первоначальных представлений, так как теперь нельзя рассматривать пучок как слабовозмущающий. Конечно, можно было бы рассмотреть все ионы как фон, так чтобы и выполнялось условие Такая модель движения электронов сквозь ионы была исследована в работе [Buneman, 1959], явившейся заметной вехой в моделировании плазмы. Эта же модель была использована в работе [Pierce, 1948] для поиска объяснений ложных сигналов, отличающихся от частоты СВЧ-сигнала на величину ионной плазменной частоты, которые наблюдались в

Рис. 5.17. Максимальный инкремент для системы холодный пучок — плазма как функция отношения плотности пучка к плотности плазмы Числа над линией соответствуют значениям а под при максимальном значении инкремента. Значение отношения плотностей отмечено как граница, разделяющая нарастание пропорционально

Рис. 5.18. Дисперсионная диаграмма для модели сильного пучка без учета связи. Связь между пучком и плазмой в областях представляет собой два двухволновых взаимодействия

электронных лампах (триодах, тетродах и т. д.). Решалось то же самое дисперсионное уравнение (5.81), но для действительных и комплексных k. Модель рассматривалась как теоретически, так и методами вычислительного эксперимента в работах [Ishihara е.а., 1980, 1981], где была показана роль пространственных гармоник при насыщении неустойчивости.

Для моделирования читателю предлагается использовать две различные модели:

1) модель слабого пучка: когда слабый электронный пучок вводится в плазму с холодными подвижными электронами существенно большей плотности. Ионы плазмы неподвижны, Условие нейтральности задается программным способом путем обнуления полной плотности заряда;

2) модель сильного пучка: сорр, когда электронный пучок двигается среди подвижных холодных ионов равной плотности, но

Конечно, вы можете выбрать и другие варианты.