14.8. ТОЧНОСТЬ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

В двухмерных электростатических программах потенциал вычисляется из плотности заряда при помощи решения уравнения Пуассона (14.2), (14.3). Погрешность (т. е. следующие члены разложения Тейлора [Collatz, 1966] имеет вид

В периодических моделях, использующих разложение Фурье, коэффициенты Фурье потенциала и плотности заряда связаны при помощи функции (см. § 8.9. 14.5). Разность между конечно-разностным выражением зависит от (как и в одном измерении), а также от

направления k. Влияние прямоугольности сетки на характеризуется величиной определяемой и малом следующим образом:

Умножающийся на малую величину член в квадратных скобках равен 1 вдоль любой оси и 1/2 при Анизотропия хорошо видна на изображенной на рис. 14.13 контурной карте для контуры ближе к квадрату, чем к кругу (как хотелось бы); на радиусе изменяется в пределах

Для того чтобы улучшить (уменьшить погрешность) и (уменьшить анизотропию и приблизить эту величину к 1), посмотрим, нельзя ли чего-нибудь добиться при помощи конечно-разностных лапласианов более высокого порядка — это не обязательно означает использование конечно-разностного уравнения Пуассона более высокого порядка — точка зрения, развившаяся, например, в работе [Forsythe, Wasow, 1960]. Тем не менее рассмотрим какой-нибудь из приведенных в книге [Collatz, 1960] шаблонов более высокого порядка для Одна из этих девятиточечных форм (при

была использована в работе [Birdsall, Fuss, 1969]. Погрешность теперь меньше, чем определяемая соотношением (14.42); заряд собирается по пяти точкам. Если использовать двойное преобразование Фурье, то, поскольку легко собрать из точек объем вычислений вырастает незначительно. Контраст между силами, возникающий при использовании пяти- и девятиточечных шаблонов, показан на рис. 14.8. Окончательный результат заключается в более медленном по сравнению с (14.43) изменении что и приводит к нужному результату — более высокой изотропии при при радиусе, равном изменяется на

Если преобразование совершается при помощи рядов Фурье, то можно придумать и использовать компенсацию уменьшения и анизотропии Разумеется, можно вычислить просто из тем не менее этот путь подразумевает нелокальный конечно-разностный алгоритм, и его недостатки обсуждаются в приложении

В конце концов как бы подробно мы ни изучали точность этого последнего шага следует помнить, что интересует нас полная точность всех четырех шагов

Рис. 14.13. Лйнии уровня функции демонстрируют анизотропию двухмерного пятиточечного конечно-разностного оператора Лапласа (т. е. линии не являются окружностями)

У пятиточечного уравнения Пуассона, безусловно, погрешность квадратична (что, в общем, приемлемо), а у девятиточечного еще меньше. Тем -не менее погрешность на шаге нам еще предстоит найти. Если эта погрешность превысит погрешность на шаге при использовании пятиточечного лапласиана (а это не исключено), то можно пренебречь «лучшим» девятиточечным оператором.