11.3. СОКРАЩЕННОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Для уменьшения объема памяти, необходимого в мультипольном методе, предложен метод [Kruer et al., 1973], который называется сокращенной мультипольной схемой. В этом подходе производные силы в узлах сетки получаются при помощи конечно-разностного оператора. Следовательно, только силу нужно вычислять и запоминать в каждом узле; получить же силу можно, действуя конечно-разностным оператором на потенциал. Плотность заряда образуется мультипольными плотностями при помощи операторов, - симметричных используемым при вычислении силы. БПФ применяется для решения уравнения Пуассона, сглаживания и, возможно, дифференцирования потенциала.

Что касается мультипольных схем, то чаще всего используется сокращенное дипольное разложение (SDPE). Заменим в выражении для силы конечной разностью

тогда разложение (11.4) примет вид

Аналогично в (1110) превращается в

Сглаживающий множитель S (совпадающий с множителем в учитывается при решении уравнения Пуассона, которое теперь имеет вид

Этот подход приспособлен к формализму гл. 8, где сила (8.23) равна

Сила в принимает форму (11.15), если -сглаженное поле, т. е. и весовая функция определяется так:

при и в противоположном случае (рис. 11.4). Плотность заряда с той же самой функцией совпадает с результатом (см. задачу 11.4). Тем самым результаты гл. 8 применимы к схеме SDPE.

Для лучшего понимания нового метода имеет смысл рассмотреть простую модель. В духе классического дипольного разложения поместим начало координат в ближайшем к узлу сетки Здесь же сначала поместим весь заряд, так же как при взвешивании по методу NGP. Затем добавим зачаточный диполь; пусть заряд соседней ячейки равен поместим его в точку и завершим построение диполя, разместив в точке заряд Дипольный момент теперь равен что должно совпадать с Результирующий вклад в плотность заряда при имеет вид

Заряд каждой частицы распределяется по трем узлам сетки (вместо двух при линейном взвешивании), а это означает, что эффективная ширина заряда равна по меньшей мере двум ячейкам.

Как исходные, так и сокращенные мультипольные схемы можно рассмотреть с единой точки зрения (см. задачу 11.5), что мы и имеем в § 11.5.

Весовая функция SDPE изображена на рис. 11.4. Так же, как и при взвешивании по методу NGP, редкие разрывы приводят к накоплению ошибок [Kruer et al., 1973]. Величины для этой и других схем сравниваются в § 11.6 и 11.7.

В работе [Kruer et al., 1973] предложена улучшенная весовая функция, изображенная на рис. 11.4, где разрывы убраны перемещением половины заряда из ближайших узлов сетки на следующие два узла. Заметим, что эта улучшенная функция

Рис. 11.4. Весовые функции при взаимодействии частица—сетка: а — сокращенное» дипольное приближение; б - улучшенное дипольное приближение; в — обычное линейное взвешивание S1

совпадает со средним двух линейных функций сдвинутых на В результате при таком улучшенном сокращенном дипольном взвешивании силы оказываются совпадающими с вычисленными при помощи стандартной линейной функции 51? но с учетом простого пространственного сглаживания или (см. задачу 11.7).

Последнее обстоятельство позволяет предположить, что стандартный алгоритм линейного взвешивания может быть мультипольной схемой. Эта и другие возможности развиваются в следующем параграфе.

Задачи