8.11. ИССЛЕДОВАНИЕ ХОЛОДНОЙ ДРЕЙФУЮЩЕЙ ПЛАЗМЫ; ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ
Легкой для изучения моделью с простыми приложениями может служить одномерный пучок частиц с дрейфовой скоростью 
проходящий сквозь фон неподвижных нейтрализующих частиц. Предположим, что на одну ячейку сетки приходится
достаточное для справедливости жидкостных уравнений непрерывности и движения число частиц. В таком случае можно получить следующую связь между силой и возмущением плотности (5.38):
Подстановка (8.79) в формулу (8.53) дает
Используя соотношения (8.41) и (8.46), получаем
Подстановка 
в (8.80) дает для 
выражение
Мы не используем условие 
так как хотим сохранить за собой свободу выбора алгоритма; в гл. 10 изложен метод расчета с сохранением энергии и условием 
Используя условие периодичности сеточных величин, в частности
исключим 
из суммы. Заметим, что так как 
действительная и четная величина, то
Используя теперь связь 
из уравнения Пуассона (8.39), получим дисперсионное уравнение
где
Рассмотрим сначала случай с 
Тогда дисперсионное соотношение принимает вид
Выражение в квадратных скобках представляет собой изменение ленгмюровской частоты колебаний из-за наложения пространственной сетки. Сумма по 
сходится достаточно быстро, и для получения достоверных результатов достаточно учитывать только члены с 
в основной зоне Бриллюэна, 
В некоторых случаях в зависимости от вида 
суммирование можно выполнить аналитически. Например, если исходить из алгоритма с сохранением импульса, подразумевая, что сила получается с помощью интерполяции продифференцированного потенциала, то х можно вычислить по формуле (8.42) и при использовании линейной интерполяции CIC для 
получить выражение
В результате суммирование в (8.86) приобретает вид
Принимая во внимание тождество из работы [Abramowitz and Stegun, 1964]
после его дифференцирования по к получаем
Для завершения вывода используем обычный трехточечный алгоритм для уравнения Пуассона (8.40), в итоге получим простой результат
Заметим, что этот точный результат отличается от приближенного результата, полученного при сохранении только члена с 
соответствующего уравнению 
в § 8.3 и использованного в гл. 4, где мы пренебрегли пространственными гармониками. Использование только члена 
приводит к приближенному результату
имеющему погрешность менее 3% при 
по сравнению с равенством (8.92).
Но если использовать алгоритм с сохранением энергии, описанный ниже, в гл. 10, то можно показать, что 
и результат не содержит дисперсии
т. е. не зависит от к, как в обычных ленгмюровских колебаниях холодной плазмы. В этом случае ошибка от использования членов только с 
будет существенно меньше, так как это приближение дает
Если бы основную роль играла точность описания дисперсии, как при колебаниях холодной плазмы, то можно было бы изменить алгоритм решения уравнения Пуассона для компенсации ошибки в методе с сохранением импульса или использовать алгоритм с сохранением энергии. Однако в § 8.13 показано, что для горячей плазмы сохранение только членов с 
часто является очень хорошим приближением и оба типа алгоритмов полезны для моделирования, как это видно из приложения 
Задача
(см. скан)
