10.7. РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА В ФОРМЕ ЛЕВИСА И КУЛОНОВСКИЕ ПОЛЯ
Запись уравнения Пуассона в форме Левиса не связана с сохранением энергии, но она довольно точно описывает кулоновское взаимодействие, скрытое в его лагранжиане, и даже частично компенсирует погрешности интерполяции. Чтобы это увидеть, мы используем полученные выше результаты, относящиеся к плотности частиц и силовому полю:
Предположим, что используется интерполяция, свободная от наложения частот. При этом требуется, чтобы 
вне первой зоны Бриллюэна, причем для прямоугольной решетки первая зона определяется как 
Это называется интерполяцией с ограниченной полосой. Нет необходимости в том, чтобы функция 
была постоянной и равной единице в пределах первой зоны. В этом случае вклад дают только члены с 
в итоге получаем
В свободном от наложения пределе поля при больших длинах волн являются кулоновскими. Если функция 
не постоянна
в первой зоне, то появляются ошибки в интерполяции, а левисовский алгоритм для уравнения Пуассона создает компенсацию ошибок в вычислении 
для обеспечения хорошей общей точности. Это важно при практической реализации высокоточных алгоритмов, так как если 
постоянно в первой зоне, то 
уменьшается с ростом х очень слабо, но в то же время не остается положительным. Однако интерполяция с ограниченной полосой не очень практична при моделировании плазмы, и если бы это было верно, то алгоритмы с сохранением импульса сохраняли бы энергию и могли бы быть сделаны точными.
В некоторых вариантах моделирования наблюдалось, что малые колебания холодной неподвижной плазмы в модели Левиса с линейным взвешиванием происходили точно на плазменной частоте, исключая погрешности интегрирования по времени. Эти интересные наблюдения справедливы при любой функции взвешивания 
и в одном, двух и трех измерениях, как показано в § 10.8. Здесь рассмотрен тот случай, когда вариационный принцип применен так, как это должно быть сделано. Однако это исключительный случай и (это будет понятно из § 10.10).
В качестве точности различных вариантов расчетов мы используем усредненную силу 
определенную в § 8.3. Представим себе неподвижные частицы, в то время как сетка смещается без вращения. Тогда 
будет средним от 
по всем таким смещениям. Можно показать, что 
получается из (10.34) сохранением только члена с 
в числителе:
Применимость 
обсуждается в § 8.13 и 10.10. Мы используем 
в § 10.11 и 10.12 при обсуждении примеров.
