14.10. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Цилиндрические координаты часто оказываются полезными. Ниже описывается метод получения конечно-разностных уравнений, связывающих в координатах и который оказался полезным во многих приложениях, связанных с дифференциальными уравнениями в частных производных с законами сохранения (в данном случае сохранение заряда и потока). Обходятся трудности со взвешиванием и расходимостью при

Этот метод допускает неравномерное распределение по обобщение на случай неравномерного распределения по приводит к симметричным матрицам не имеет расходимостей при и точно сохраняет интеграл потока. Такой же метод можно применить и в сферических координатах.

Взвешивания для частиц и полей приведены ниже.

Зависимость только от В одномерном случае при зависимости только от радиуса (нет изменений по расположим и обозначим помощи индекса сеточные величины, как показано на рис. 14.17. Частицы представляют собой однородные вдоль цилиндрические оболочки. Заряды частиц приписываются узлам сетки при помощи взвешивания, обеспечивающего точное сохранение заряда

Использование закона Гаусса гарантирует сохранение потока. Применение закона Гаусса к цилиндрической поверхности дает (в рационализованных единицах СГС или радиальное электрическое поле зарядов

а между поверхностями

и т. д., где какой-то радиус из рассматриваемого интервала, например получения уравнения на используем простую разность

Рис. 14.17. Расположение сеточных величин для одномерной радиальной сетки, Расстояние между узлами сетки не обязательно постоянно

где т. е. закон Гаусса выглядит как

Плотность заряда Объемы где

Уравнение (14.65) приводит к трехточечной конечно-разностной форме уравнения Пуассона

Результат для постоянных задаче 14.10. Как и во всех чисто радиальных моделях, зависит только от полного заряда, заключенного в области и не зависит от зарядов при Если на оси нет линейного заряда, то

Зависимость только от В двухмерной системе координат (нет зависимости от 9) ячейки выглядят, как на рис. 14.18, где отмечено расположение сеточных величин с индексами Пусть постоянно. Частицы представляют собой кольца. Для отмеченного штриховой линией объема с центром в из закона Гаусса имеем

На оси

Плотность заряда где

т. е.

Далее, взяв из (14.64) и в виде

получаем пятиточечную конечно-разностную форму уравнения Пуассона для

вычисляется как откуда

Если нет линейного заряда при то опять

Зависимость только от

В двухмерной системе координат (нет изменения по ячейки и сеточные величины выглядят, как на рис. 14.19.

Частицы представляют собой стержни. Пусть постоянно.

Рис. 14.18. Расположение сеточных величин и область интегрирования для закона Гаусса для двухмерной r-z-сетки, индексы

Рис. 14.19. Расположение сеточных величин и область интегрирования для закона Гаусса для двухмерной -сетки, индексы

Для отмеченного штриховой линией объема с центром в из закона Гаусса имеем

где Плотность заряда вычисляется следующим образом: где

т. е.

Взяв из (14.64) и в виде

получаем пятиточечную конечно-разностную форму уравнения Пуассона для

Применение закона Гаусса вблизи оси не столь очевидно. Рассмотрим -сетку как прямоугольную простирающуюся вплоть до оси со взвешенными по некоторому алгоритму зарядами, образующими в каждой точке С этой точки зрения закон Гаусса для поверхности связывает полный заряд на оси

с полем около оси

Уравнение Пуассона на оси следует из (14.82):

Таким образом, полный набор для уравнения Пуассона включает в себя соотношения (14.80) и (14.83). Величины

вычисляются из как в (14.83), а вычисляются из как в (14.79).

Поскольку хорошо обращаться с осью трудно, -координаты часто предпочтительнее, чем -координаты.

Задачи

(см. скан)