16.6 СПОКОЙНЫЙ СТАРТ: МНОГОПУЧКОВЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ИХ НАСЫЩЕНИЕ; ВОЗВРАТ

Для примера создадим -распределение Максвелла при помощи пучков, состоящих из частиц каждый и однородно расположенных на расстоянии друг от друга причем как масса, так и заряд уменьшается по закону

Таблица 16.2. (см. скан) Троичные дроби с обращенными разрядами

Рис. 16.3. Упорядоченное фазовое пространство— торговая марка спокойного старта. Для гауссова распределения по скоростям величины спадают как а отношение остается постоянным для всех частиц

а отношение поддерживается одинаковым для всех частиц. При однородном пространственном распределении фазовое пространство выглядит так, как изображено на рис. 16.3. Система упорядочена, флуктуаций нет (по крайней мере, на низких частотах и больших длинах волн). Таким образом, в системе можно возбудить волны с амплитудой намного меньшей, чем уровень флуктуаций при случайной загрузке. Можно например, наблюдать затухание Ландау на протяжении многих десятков периодов [Byers, 1970], что почти невозможно при случайной загрузке, если не использовать огромного числа частиц.

Существуют некоторые сложности, которые могут помешать использованию загрузки такого типа несмотря на всю ее привлекательность. Предположим, что при специально возбуждается волна малой амплитуды длиной Существует время возврата за которое пучок проскальзывает мимо пучка на расстояние и система восстанавливается. В момент наблюдался скачок величины по сравнению со значением при [Byers, 1970]; впоследствии наблюдаются спад и новые скачки. Эти скачки изображены на рис. 16.4 из работы [Denavit, 1980]. Наблюдающийся после момента экспоненциальный рост приводит к установлению уровня тепловых флуктуаций, который был бы при чисто случайном старте, и насыщается, когда тепловой разброс скорости пучка достигает Это физический рост, связанный с многопучковой неустойчивостью (см. ниже), возникающей для многих гармоник исходной волны (если ограничиться основной гармоникой, то инкремент нарастания соответствует вычисленному [Denavit]). Выбором достаточно больших X и малых можно сделать время возврата большим. Предположим, что мы хотим увидеть 10 периодов колебаний и соответствующее затухание за время Пусть имеется пучков в области (т.е. тогда необходимо, чтобы или что нас и интересует.

Рис. 16.4. Эволюция электрического поля при затухании Ландау электронных колебаний в случае дискретных пучков с одинаковыми начальными скоростными интервалами Колебания возбуждаются при 0,377. Оценка времени возврата дает что очень близко к наблюдаемому -длина системы). (Из работы Denavit, 1980])

Вторая проблема заключается в том, что из-за взаимодействия между пучками почти любая система пучков физически неустойчива. Мы уже хорошо знакомы с двухпучковой неустойчивостью — тот же механизм действует и в случае многих пучков, т. е. из-за ошибок округления система в целом оказывается неустойчивой. Этот результат, предсказанный Доусоном [Dawson, 1960], впоследствии многими наблюдался [Denavit, 1972, 1974].

Особенно аккуратно применение спокойного старта в рамках моделирования распределения Максвелла (считающегося всегда устойчивым!) исследовано в работе [Gitomer, Adam, 1976]. Для равноудаленных по скорости пучков наибольшая активность развивается вблизи (у этих пучков наибольший заряд). Энергия поля растет экспоненциально с небольшим инкрементом (рис. 16.5). Насыщение происходит на уровне это ниже теоретического уровня тепловых флуктуаций (пропорциональных который при чисто случайном начальном распределении Максвелла составляет 0,003. Старт при этом действительно спокойный — примерно на 20 порядков ( ниже теплового уровня. Таким образом, так же как и в случае нефизической неустойчивости в модели холодного пучка или в. термической модели со слишком малым отношением развитие физической неустойчивости стабилизируется вблизи некоторой формы теплового

Рис. 16.5. Зависимость логарифма энергии электрического поля (нормализованной на полную начальную энергию) от времени для равноудаленных при пучков

Рис. 18.6. Рост энергии поля для распределения Максвелла с пучками одинакового веса

равновесия, однако флуктуации при этом могут быть как больше, так и меньше тепловых.

Второй подход состоит в использовании многих одинаковых пучков, которые для создания распределения Гаусса неравномерно распределены по Для всех частиц одинаковы. Расположение по скорости получается при помощи интегральной функции распределения, причем минимальное удаление получается при а максимальное — при больших (скажем, Поскольку теперь пучки распределены неравномерно, можно ожидать, что обсуждавшиеся выше скачки не возникнут. Тем не менее многопучковая неустойчивость по-прежнему существует. Этот случай также моделировался в работе [Gitomer, Adam, 1976]. Теперь сильнее всего взаимодействуют пучки с максимальным удалением по скорости, лежащие на хвосте распределения. Энергия поля растет экспоненциально с небольшим инкрементом, и насыщение происходит на уровне -немного меньшем, чем упомянутый выше тепловой уровень 0,003 (рис. 16.6).

В приложениях можно использовать любую из многопучковых моделей. Если представляют интерес взаимодействия на хвосте то лучше использовать первую модель с постоянным Если же представляет интерес случай то рекомендуется модель с неравномерным расположением пучков. Подобные исследования обычно оказываются успешными, если при этом инкременты неустойчивостей существенно отличается от характерной частоты

многопучковых неустойчивостей — последнее требование позволяет разделить эффекты при помощи временного Фурье-анализа. Если есть сомнения насчет использования разных то следует использовать модель с постоянными

Многопучковую неустойчивость можно рассматривать как неустойчивость пар пучков — при равномерном расположении пучков максимальный инкремент определяется взаимодействием пар при а при постоянной массе — взаимодействием самой быстрой пары. Следовательно, для подавления неустойчивости можно добавить тепловой разброс к какой-либо из этих пар (или даже ко всем пучкам). В работах [Denavit, Kruer, 1971, 1980], в которых для моделирования двухпучковой неустойчивости с тепловым разбросом использовались 100 пучков одинаковой массы, обнаружено, что введение разброса скоростей двух самых быстрых пучков приводит к замедлению раскачки нежелательных многопучковых колебаний, и, по-видимому, инкремент неустойчивости в этом случае определяется следующей парой с меньшим Когда в той же модели использовались 1600 пучков без разброса, никаких фиктивных колебаний в процессе счета не возникало. Чен [Chen] повторила это исследование для распределения Максвелла и пучков одинакового веса и обнаружила, что разогрев последнего пучка приводит только к небольшому повышению начальной энергии поля (по сравнению с рис. 16.6) и несколько более раннему насыщению неустойчивости, а при добавлении ко всем пучкам результаты оказались похожими. Она также показала, что в периодической модели раскачка наиболее быстрых пучков происходит даже тогда, когда на каждый пучок приходится всего одна частица; тем не менее при использовании 16 384 частиц инкремент у нее составлял инкремента Житомера и Адама (см. рис. 16.6). При наложении возмущения конечной амплитуды наблюдалось также затухание Ландау с последующими скачками, которые, однако, по величине были меньше, чем, изображенные на рис. 16.4.

Денавит [Denavit, 1972] описал подход, основанный на комбинации методов крупных частиц и функции распределения, в котором после каждых шагов по времени проводится реконструкция или сглаживание. Было также показано [Matsuda, Crawford, 1975], что при этот метод подавляет многопучковую неустойчивость (с равномерно распределенными пучками); при этом получаются отличные энергетические спектры и затухание Ландау вплоть до Сглаживание не подавляет скачки, связанные с возвратом (см. рис. 16.4), однако при моделировании процессов с большими или малыми амплитудами никаких проблем не возникло.

Идею спокойного старта можно применять и к другим распределениям. При моделировании неустойчивости Дори —

Рис. 16.7. Распределенные по Гауссу кольца (2) и однородно распределенные спицы (5) образуют двухмерное распределение Максвелла по скоростям (1). Для обеспечения равенства нулю полной скорости можно одновременно располагать частицы в точках или

Геста — Харриса в Бедсел и Фасс [Birdsall, Fuss, 1969] устанавливали распределение замагниченных ионов при помощи случайных чисел в виде холодного кольца в пространстве скоростей; обнаруженный закон роста (пропорционально обусловлен, по-видимому, стохастическими процессами. Затем они использовали процедуру спокойного старта с вполне упорядоченным кольцевым распределением [Byers, Grewal, 1970], в которой для каждого X 64 одинаковые спицы располагались по кругу. Эти вычисления позволили проследить ожидавшийся экспоненциальный рост для многих мод на огромном интервале потенциальных энергий ( измерить комплексную частоту которая совпала с точностью меньше с теоретической (при наличии шумов инкременты уменьшались), и наблюдать больший, чем при случайном и шумном стартах, уровень насыщения

Рассмотрим снова загрузку двухмерного изотропного, не зависящего от распределения Гаусса по скоростям. Выберем теперь однородное по углу 9 распределение в виде равномерно распределенных в пространстве спиц и колец (рис. 16.7). Азимуты спиц распределены по однородно, а радиусы колец вычисляются при помощи интегральной функции распределения (16.6) или (16.11) и однородного набора чисел Rs. Ким, Отани и Коэн [Kim, Otani, Cohen, 1980] исследовали устойчивость двухмерной максвелловской замагниченной плазмы при таком способе загрузки. Для максвелловского распределения по скоростям, составленного из колец и спиц (равнораспределенных по гирофазе т. е. всего из частиц, они получили и решили дисперсионное уравнение для электростатических мод В отличие от многопучковой незамагниченной максвелловской модели (которая всегда неустойчива) в магнитном поле распределение, составленное из большого числа спиц и колец, может быть устойчивым. Оказалось, что влияние спиц на дисперсионное соотношение несущественно, если

где выбирается равным а Аты—максимальное удерживаемое значение Если неравенство (16.15) выполнено, то распределение по скоростям выглядит составленным из одних колец, в этом случае и Отани определили границу устойчивости:

На пороге неустойчивости параметры приблизительно равны

Если частицами являются электроны и изучаются электронные моды Бернштейна, то отношение вычисляется для электронов; если же исследуются ионные моды Бернштейна, то следует заменить на Изучая условия устойчивости для достаточно большого числа спиц и колец Коэн обнаружил, что как в случае пространственного перемешивания, так и в периодическом случае получается устойчивый спокойный старт, что очень важно при исследовании дрейфовой циклотронной неустойчивости. Отметим, что в типичных задачах магнитного удержания плазмы далеко не мало:

Следует отметить, что при загрузке одной частицы на пучок или кольцо и одной спицы на кольцо описанный в § 16.6 подход, использующий обращенные числа со смешанными основаниями, работает очень хорошо.