15.5. СОВМЕСТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЧАСТИЦ И ПОЛЕЙ

При интегрировании уравнений для частиц и полей необходимо связывать между собой вычисляемые в разных местах и в разное время величины, относящиеся к полям и частицам.

В простейшем случае для вычисления скорости частицы магнитное поле В, определяемое полевыми уравнениями в полуцелые моменты времени (при ), необходимо знать в целые моменты времени Поскольку закон Фарадея позволяет вычислить В раньше, чем можно просто усреднить В по времени:

Это выражение можно использовать в (15.13), а также для некоторых диагностик. На практике в явном виде среднее не возникает. Для того чтобы избежать дополнительных затрат машинной памяти, интегрирование В можно разделить на два этапа [Boris, 1970]. На последнем этапе интегрирование В продвигается на половину пути

что записывается в памяти вместо Затем при помощи этого В и (15.13) интегрируются уравнения для частиц. На первом этапе следующего цикла таким же образом переводится в

Аналогичная проблема возникает и при вычислении плотности тока исходя из скоростей известно в моменты и координат известно в момент частиц. К центральному по времени выражению приводит метод работы [Boris, 1970], заключающийся в использовании величины умноженной на среднее от весов в точках В явном виде

Видно, что частица дает вклад как в плотность заряда, так и в плотность тока в четырех ближайших узлах сетки. (Когда

частица пересекает границу ячейки при передвижении от под ее влиянием оказывается большее число узлов.)

Другой способ получения заключается в использовании весов в срединных точках . По вычислительным затратам оба метода равноценны. Последний способ был использован в ZOHAR в надежде на его меньший уровень шума. Тем не менее показано [Godfrey, Langdon, 1976], что способ с использованием средних весов (15.25) может оказаться менее подверженным численным неустойчивостям. Сохранение заряда требует специального исследования (см. § 15.6). Кроме того, необходимо отдельно рассмотреть шумовые свойства различных схем взвешивания это также обсуждается ниже.

Электрические и магнитные поля в точке расположения частицы вычисляются из полей на сетке при помощи интерполяции (взвешивания). В ZOHAR используется линейное взвешивание. Самое очевидное, что можно сделать, — это интерполировать отдельно в рамках каждой комбинации узлов, изображенных на рис. 15.3 [Boris, 1970; Morse. Nielson, 1971; Palevsky, 1980]. Однако при передвижении частиц на это тратится время. Поскольку перемещение частиц занимает большую часть машинного времени, в ZOHAR и других кодах поля заранее перераспределяются по простому набору узлов. Это можно сделать в узлах, в которых локализована плотность при помощи пространственного усреднения. Существуют и другие преимущества — продольная часть теперь та же, что и в сохраняющих импульс электростатических кодах, кроме того, дополнительное сглаживание уменьшает коротковолновые шумы. Упрощаются также диагностики. Кроме того, при изменении разностной схемы для вычисления из возникают некоторые преимущества [Nielson, Lindman, 1973].

После интегрирования уравнений движения усредненные поля следует перераспределить по исходной сетке при помощи еще одного пространственного усреднения. При этом, однако, возникает неприемлемо быстрое затухание электромагнитных волн. Борис заметил, что, например, исходную величину легко восстановить, если перед усреднением запомнить значение с одной из сторон. Восстанавливать значения проще всего сначала совместно с по оси х, а затем вместе с по оси у. Таким образом, можно без существенных затрат машинной памяти восстановить поля на сетке.

Как и при переопределении полей, в ZOHAR оказывается удобным вычислять при помощи взвешивания по площадям в тех же узлах сетки, что и а затем путем усреднения определять токи в нужных для полевых уравнений точках (см. рис. 15.3). Таким образом, -компонента тока (она нужна в точке равна

Аналогично вычисляется и -компонента тока, которую нужно знать в точке Разумеется, нет необходимости восстанавливать неусредненные значения