5.7. ПРИБЛИЖЕННЫЙ НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ДВУХПОТОКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Начиная выполнять задания по моделированию, можно довольно смутно представлять себе, что в конце концов будет получено. Однако начинать его совсем вслепую не очень разумно, особенно если нужно исследовать неустойчивость. Обычными проблемами являются плохие параметры или начальные условия (слишком шумные, неправильно возбужденные моды, нет необходимых мод и т. д.) или недостаточные виды диагностики [недостаток разрешения при малых изменениях в 
нет временного анализа Фурье и т. д.]. Общей проблемой является отсутствие точного знания, при каком уровне энергии неустойчивость насыщается и какое разрешение по 
и к) необходимо на этом уровне. Обычно полезно сделать несколько оценок ожидаемого уровня насыщения и сдвига, если он имеется, по 
Эти оценки не должны восприниматься очень серьезно, но они могут быть весьма полезны в выборе начальных условий, параметров и диагностик. Желательно также сделать несколько предварительных коротких запусков для выявления непредвиденных трудностей.
Два противоположных потока, каждый плотностью 
вначале имеют только дрейфовую энергию. Пусть потоки имеют один и тот же знак заряда 
дрейфуя через фоновые неподвижные заряды противоположного знака и плотности:
При взаимодействии потоки образуют большие сгустки заряда, которые ускоряют либо замедляют заряды своими большими электрическими силами. Энергия электрического поля получается из начальной кинетической энергии дрейфового движения. Следовательно, можно ожидать (грубо), что выполняется баланс энергий
и дрейфовая энергия должна уменьшаться, когда возникают поля из-за развития неустойчивости, т. е. оба потока в целом замедляются.
Если параметр линейного анализа 
вычислять по средним значениям
то при постоянном 
это отношение увеличивается с уменьшением 
Это может увеличивать или уменьшать 
(см. рис. 5.8), но не передвигает систему в область, где нарастание отсутствует. При потоках частиц с зарядами одного знака 
взаимодействие стремится к созданию сгустков заряда, удаленных друг от друга на 
Это группирование создает электрическое поле на второй пространственной гармонике (т. е. на удвоенном начальном к), следовательно, эта длина волны не должна быть сглажена 
моделировании. Для потоков зарядов с различным знаком 
например электронов и позитронов, группирование будет другим. Конечно, нелинейная генерация пространственных гармоник 
) — это визитная карточка большинства неустойчивостей, в которых начальные синусоидальные сгустки обостряются до шипов. Эти гармоники могут качественно изменить развитие неустойчивостей, см. работу 
].
Первая догадка о поведении при больших амплитудах: пусть заряды потока на некоторой стадии образуют два синусоидальных сгустка на расстоянии 
как показано на рис. 5.9; любое большее группирование дало бы много гармоник. Средние значения 
равны нулю, как требуется в периодических моделях. Присутствует только одна гармоника
связанная с
Вычисление начинаем, задав два вопроса: 1) превышает ли полная энергия электрического поля 
полную начальную кинетическую энергию 
которая равна полной энергии системы 
Если так, то необходимо уменьшить оценку 
2) настолько ли велик потенциал, чтобы отражать частицы? Ответ на первый вопрос получается из соотношения 
Рис. 5.9. Плотность большой амплитуды, поле и потенциал для двух противоположных потоков с одинаковыми знаками заряда в неподвижном фоне зарядов другого знака, плотность заряда 
Физически заряды одного потока стремятся оказаться в сгустке А или в другом сгустке В. Начальное малосигнальное нарастание имело одну длину волны в этом пространстве, 
Рис. 5.10. Плотность большой амплитуды, поле и потенциал для двух противоположных потоков одного знака заряда с очень плотными сгустками толщиной 
При пороге неустойчивости 
следовательно, нет проблем, так как
При 
инкремент максимален, 
и мы имеем
что все еще меньше единицы и, следовательно, физично; конечно, это значение подразумевает, что можно ожидать более плотного группирования, чем предполагалось. Ответ на второй вопрос получается из соотношения для одночастичных решений
которое в 4 раза больше отношения 
Следовательно, при пороговом значении это отношение равно 1/4 и частица со скоростью 
не может быть остановлена при 
При максимальном инкременте, однако, 
что указывает на то, что частица с начальной скоростью 
будет существенно замедлена потенциальным гребнем. Только при 
и именно когда 
можно ожидать, что частица будет остановлена и повернет назад. Из того факта, что отношение энергий частицы в 4 раза больше, чем отношение полных энергий, следует, что механизм, ограничивающий рост неустойчивости, обусловлен отражением частиц, а не появлением плотных сгустков. Для изменяющихся во времени полей пренебрегите, пожалуйста, ошибкой, возникающей из-за приравнивания 
В качестве второй догадки рассмотрим более плотное группирование. Предположим, что имеются сгустки нулевой толщины 
-функции), как показано на рис. 5.10. Для толщины сгустков 
близкой к нулю (это означает, что 
легко получить поле и потенциал в области 
Значение В находим из определения 
получим из условия 
В результате имеем
Из этой модели следует соотношение
а также
Эти значения соответственно в 
раз больше, чем значения, полученные ранее, и находятся теперь в соотношении 1 к 2 (ранее 1 к 4). При максимальном значении 
величина 
и мы получаем
Оба значения превышают единицу, причем (5.76) указывает, что в системе нет достаточной кинетической энергии для создания сгустков нулевой толщины, а (5.77) означает, что частицы, двигающиеся со скоростью 
были бы остановлены и отражены такими сгустками и никогда не были бы захвачены.
Нашей третьей догадкой должно быть допущение конечной, но все еще малой толщины сгустков. Используя эту модель, получаем отношение
При максимальном инкременте, как и в равенстве (5.76), приравнивание 
(означающее, что вся энергия теперь содержится в поле и частицы полностью остановлены) требует, чтобы
или
что означает наличие в этом случае довольно тонких сгустков. Ответ для 
составленный для рассмотрения в задаче, 
вероятно, указывает на несколько более толстый сгусток. Эти оценки, обычно называемые вычислениями на обратной стороне конверта, выполняются легко, однако они полезны, если осваиваются новые области. Настоящий интерес приходит от сравнения этих оценок с моделирующими запусками, которые подтверждают некоторые догадки и опровергают другие и тем самым продвигают теорию и моделирование вперед.
Задачи
(см. скан)
