10.9. НЕСОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА

Рассмотренные выше модели не сохраняют импульс. Покажем теперь, что этот недостаток связан с наложением частот. И то и другое является проявлением неоднородности динамики системы. Если лагранжиан не инвариантен при перемещении, то в общем случае импульс не сохраняется. Рассмотрим произвольную силу, действующую на систему частиц, и воспользуемся интерполяцией с ограниченной полосой:

где при отсутствии наложения частот, причем подынтегральное выражение нечетно. В итоге полная сила, действующая на частицы, равна нулю и импульс сохраняется. При этом очень существенно, что частицы больше не чувствуют положения точек сетки. Неоднородность сетки устранена из динамики. Следует отметить, что при отсутствии наложения частот обычные модели, сохраняющие импульс, могут также сохранять и энергию, например когда в формуле или в (10.3) в первой зоне

Простым примером нарушения сохранения импульса является учет силы, действующей на частицу со стороны ее собственного поля. Исследуем этот случай ниже, пока же предположим, что мы не интересуемся погрешностями в силе такого рода на макроскопическом уровне (возможно из-за того, что она в среднем стремится к нулю) до тех пор, пока это не проявит себя явно. Приведем два примера, в которых может иметь место большое изменение полного импульса.

На рис. 10.2 и 10.3 показано существенное нарушение сохранения импульса. Неустойчивость предсказывается и наблюдается в холодной плазме, двигающейся сквозь сетку с неподвижным нейтрализующим фоном (см. § 8.12 и задачу 10.11). Здесь не требуется присутствия двух или более плазменных компонент, движущихся относительно друг друга. Ясно, что это нефизическая неустойчивость и ее происхождение

Рис. 10.2. Пример макроскопического нарушения сохранения импульса. Холодный пучок, проходящий через постоянный однородный нейтрализующий фон, становится неустойчивым: 1 - тепловая энергия частиц; 2-дрейфовая; 3-энергия поля

связано с ошибками из-за наложения частот. Разделим энергию на три неравные части: на кинетическую энергию, связанную со средним движением, кинетическую энергию движения относительно средней скорости и энергию поля. Их сумму при желании можно сделать практически постоянной, уменьшая временной шаг. При развитии неустойчивости два последних слагаемых увеличивают свой вклад в полную энергию, а вклад первого ослабевает. Следовательно, средние скорость и импульс должны уменьшаться, погрешности в вычислении силы разрушают среднее упорядоченное движение. Заметим, что существование постоянной энергии означает, что амплитуда неустойчивости ограничена значением имеющейся энергии, что нетипично для таких неустойчивостей в обычных моделях, в которых наблюдаемая полная энергия увеличивается - [Okuda, 1970, 1972]. Такое описание подтверждается результатами моделирования, показанными на рис. 10.2 и 10.3.

Столкновения частиц также создают сопротивление, приводящее к уменьшению импульса, как это предсказывается для горячей однородной устойчивой плазмы, дрейфующей через сетку (см. § 12.6). Потеря энергии среднего движения компенсируется увеличением температуры.

Мы далеки от мысли утверждать, что отсутствие сохранения момента является неизбежным недостатком практического моделирования, хотя и показали, что оно может иметь макроскопически видимые последствия.

Задача

(см. скан)