10.4. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Здесь мы продемонстрируем сохранение энергии при довольно общих условиях на уравнения поля. Так как свойство сохранения энергии применимо только, когда уравнения движения частиц интегрируются по времени точно, предположим, что время изменяется непрерывно. Скорость изменения кинетической энергии определяется формулой
Электрический потенциал является решением дискретного аналога уравнения Пуассона и представляет собой линейную комбинацию 
и граничных условий, если последние неоднородны. Следовательно, потенциал имеет вид
где 
функции Грина для разностного уравнения Пуассона. Любая фиксированная плотность заряда может быть или включена 
рассматриваться как принадлежащая бесконечно тяжелым частицам, или рассматриваться как вклад в 
По аналогии с обычной теорией электростатического поля можно ожидать, Что потенциальная энергия системы, связанная с полем частиц, имеет вид [Jackson, 1975]
где 
интерполируется из первого слагаемого в формуле 
а потенциальная энергия, связанная с внешним потенциалом, равна 
Рассмотрим, когда такое представление справедливо. Из тождества
получаем, что скорость изменения во времени полной энергии имеет вид
Первый член в правой части — скорость изменения полной энергии из-за ее явной зависимости от времени; он соответствует 
следовательно, его появление оправдано. Для получения системы с сохранением энергии необходимо, чтобы вторая сумма в правой части исчезла. Это будет иметь место, если потенциал удовлетворяет теореме взаимности Грина (10.14) при постановке в нее 
Другое доказательство достаточности взаимности для сохранения энергии дано в § 10.3.
Можно показать, что условие взаимности будет выполнено, если 
определяется равенством (10.22) и известно, что функция Грина симметрична, чего следует ожидать, когда 
симметрична. Существует некоторый произвол в определении 
из-за равенства полного заряда нулю в периодической системе, так что может потребоваться преобразование 
которое получается непосредственно из метода решения уравнения Пуассона, чтобы сделать симметрию явной [LeWis et al., 1972]. Важность симметрии показана в задаче 10.9.
В любом случае ясно, что свойство сохранения энергии легко достижимо.
