8.8. БОЛЕЕ ТОЧНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ S(x) С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СПЛАЙНОВ
«Очевидный» способ улучшить точность — это использовать интерполяционную формулу Лагранжа более высокого порядка. Однако формула второго порядка является разрывной и поэтому не годится. В третьем порядке функция 
дифференцируема, но дает разрывную силу. Из-за этих разрывов 
медленнее уменьшается при больших к, что приводит к большему наложению частот.
Если мы потребуем существования нескольких непрерывных производных, то 
будет уменьшаться более быстро и будет иметь малую склонность к наложению частот. Это предполагает использование сплайнов, которые мы сейчас и применим в описании [Lewis е. а., 1972; Buneman, 1973; Langdon, 1973; Brown е. а., 1974; Denavit, 1974; Lewis and Nielson, 1975].
Определим 
как свертку квадрата функции взвешивания по методу NGP (рис. 8.2, а) саму с собой 
раз. Для больших 
приближается к гауссиану в смысле центральной предельной теоремы. 
является аналогом гауссиана для таких систем. Следовательно, 
является случаем линейной интерполяции 
рис. 8.2, б. Базовые функции 
следовательно, 
являются полиномами порядка 
как показано в подписи к рис. 8.2. Имеются 
непрерывных производных. Заметим также, что 
в отличие от формул Лагранжа. Связь с обычной сплайновой интерполяцией обсуждается в работах [Langdon, 1973; Носкпеу and Eastwood, 1981].
Фурье-образ для 
в одномерном случае имеет вид
При больших к 
Для значений 
функция 
имеет нуль 
порядка и мала в окрестностях этих точек. Это выполняется и для интерполяционных формул Лагранжа, однако при малых к 
в 5 раз больше и 
в 21 раз больше для формул Лагранжа второго порядка, чем для 
(рис. 8.2,в). Таким образом, при том же количестве вычислительных операций сплайн уменьшает ошибки из-за наложения частот при больших длинах волн. При малых к 
тогда как 
при интерполяции по Лагранжу. Однако эту «ошибку» в сплайне можно компенсировать выбором алгоритма решения уравнения Пуассона, как уже отмечалось выше.
В качестве примера рассмотрим квадратичный сплайн 
в одномерной периодической системе (рис. 8.2,в), который имеет вид
где в обоих случаях выполняется условие
Задача
(см. скан)
