14.3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
Уравнения Пуассона для 
в конечно-разностном виде в прямоугольных координатах записаны выше [см. (14.3)]. Для ознакомления с детальными решениями этого уравнения читатель отсылается к вводной работе [Potter, 1973] и к более подробным работам [Hockney, 1970; Hockney, Eastwood, 1981]. В начале 60-х годов Хокни, работая в Станфордском университете вместе с Бунеманом и Голабом, первым построил быстрые методы прямого решения уравнения Пуассона, совершив тем самым практический скачок от одно- к двух- и трехмерному моделированию частиц или жидкости. Указанные работы содержат изобилие информации, которая здесь не повторяется.
Для получения прямого решения можно, так же как и в 
использовать представление Фурье для 
решение дважды периодического уравнения Пуассона обсуждается ниже. В дальнейшем мы также продемонстрируем двухмерные модели пластин, которые включают в себя как преобразование Фурье, так и быстрые прямые методы. Эти модели периодичны по у и могут быть периодическими, открытыми, замкнутыми или перевернутыми по х.
Во многих моделях условия на 
или 
задаются на регулярных границах плазменных или вакуумных областей, например 
В моделях с электродами под заданными потенциалами внутри плазменной области необходимы заряды на электродах. Их можно получить при помощи метода матриц емкостей. Детали этого метода и его обобщения даны в работе [Hockney, Eastwood, 1981]. Метод включает в себя предварительное вычисление матрицы емкостей С [Ramo, Whinnery, Van Duzer, 1965], которая связывает потенциалы внутренних электродов и заряды, индуцированные на них окружающей плазмой. Сначала решается уравнение Пуассона без зарядов на электродах, записывается разница между найденными и необходимыми потенциалами электродов. Искомый поверхностный заряд (с обратным знаком) на каждом
Рис. 14.4. При взвешивании нулевого порядка в 
частица имеет форму ячейки с постоянной плотностью с центром в узле сетки
Рис. 14.5. Сила, действующая со чороны заряда из ячейки в начале координат на заряд в точке 
для взвешивания нулевого порядка NGP. Второй заряд движется параллельно оси 
Штриховой линией указан физический закон 
для второй частицы, расположенной в центрах ячеек (кружки). Первый заряд расположен где-нибудь в области а
электроде получается умножением этой разности на С. Затем снова решается уравнение Пуассона с полученными поверхностными зарядами; это решение верно всюду, включая электроды.
