4. МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА

Из предыдущего изложения следует, что знание нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы позволяет оценить качество переходных процессов и вынести суждение о ее работоспособности. Однако непосредственное вычисление нулей и полюсов связано с решением алгебраических уравнений, что для систем высокого порядка без применения вычислительных машин невыполнимо. В то же время для предварительной оценки качества системы крайне желательно знать направление перемещения полюсов замкнутой системы в зависимости от изменения того или иного ее параметра. Ответ на этот вопрос можно получить, если построить траектории корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении одного из параметров. Чаще всего в качестве такого параметра рассматривают коэффициент передачи системы. В этом случае соответствующие траектории корней при изменении К от 0 до называют корневым годографом.

Метод корневого годографа был предложен Эвансом в и нашел широкое применение в практике расчета систем автоматического регулирования Основным преимуществом этого метода является возможность аналитического исследования систем невысокого порядка и численного исследования систем более высокого порядка на основе одного и того же подхода. Кроме того, этот метод позволяет приближенно оценить траектории корней замкнутой системы по расположению нулей и полюсов разомкнутой системы. Это подчеркивает общность подхода, присущую теории регулирования и связанную с анализом влияния обратной связи на свойства замкнутой системы, по характеристикам разомкнутой системы. В гл. XI этот подход был реализован при анализе устойчивости, в данной главе аналогичный подход использован при анализе качества.

Рассмотрим одноконтурную систему автоматического регулирования с передаточной функцией

где — полюсы передаточной функции разомкнутой системы; - нули передаточной функции разомкнутой системы; — коэффициент передачи разомкнутой системы.

Как нетрудно видеть, коэффициент К пропорционален коэффициенту передачи и зависит от произведения нулей и полюсов разомкнутой системы. Форма представления (XI 1.36) наиболее удобна при изложении метода корневого годографа.

Замыкание одноконтурной системы жесткой отрицательной обратной связью приводит к получению замкнутой системы с передаточной функцией

Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой системы имеет

где — характеристический многочлен.

Совокупность точек удовлетворяющих уравнению (XI 1.38) при различных значениях К, образует траектории корней, или годограф системы.

Все свойства корневого годографа следуют из соотношения (XII.38). Они представляют собой описание очевидных соотношений между передаточными функциями разомкнутой и замкнутой систем. Можно перечислить большое число свойств; ниже приведены наиболее важные из них.

Свойство 1. Годограф при Как следует из (XII.38), в этом очевидном случае полюсы замкнутой системы совпадают с полюсами разомкнутой. Это означает, что корневой годограф начинается в полюсах разомкнутой системы.

Свойство 2. Годограф при Как следует из (XII.38), в этом случае полюсы замкнутой системы совпадают с нулями разомкнутой системы. Однако число нулей разомкнутой системы равно и оставшиеся полюсов стремятся к бесконечности. В этом случае возникает необходимость выяснить положения асимптот.

Свойство 3. Асимптоты корневого годографа. Число асимптот равно где — число полюсов, — число нулей передаточной функции (XI 1.36).

Углы наклона асимптот определяют из условия

Точку пересечения асимптот находят из условия

Условие (X 11.39) следует из соотношения

и вытекающего из (XI 1.41) уравнения для аргументов

Этим соотношениям удовлетворяют все точки корневого годографа и, следовательно, точки, уходящие в бесконечность при . Из условия (XII.41) следует, что

что и приводит к условию (XII.39).

Условие (XII.40) также выводим из соотношения (XII.41). Деля многочлен на многочлен получаем

Таким образом, при сумма корней, стремящихся к бесконечности, остается постоянной. Следовательно, все эти корни принадлежат прямым, которые пересекаются в точке определяемой соотношением (XII.40).

Свойство 4. Годографы на вещественной оси. Эти участки годографа определяются только действительными нулями и полюсами, поскольку для любой точки вещественной оси вклад комплексно-сопряженных полюсов и нулей равен нулю. При этом угол, обусловленный действительным полюсом или нулем справа от исследуемой точки, равен 180°, а угол, обусловленный полюсом или нулем слева от нее, равен 0°. Это означает, что участки годографа на действительной оси чередуются.

Свойство 5. Пересечение годографа с мнимой осью. Отыскание решения вида для характеристического уравнения (XII.38) не представляет труда, поскольку при отделении действительной и мнимой частей многочлена порядок уравнений понижается.

Свойство 6. Углы выхода годографа из комплексных полюсов. Эти углы определяются из уравнения аргументов (XI 1.42).

Для систем, у которых порядок числителя сумма, полюсов замкнутой системы постоянна. Это позволяет в ряде случаев определять недостающие полюсы и делать ряд других важных выводов.

Применение перечисленных свойств существенно упрощает процесс построения годографа. Хотя точное построение годографа в конечном счете связано с отысканием корней уравнения, его эскизный набросок иногда значительно облегчает предварительное проектирование системы, например выбор структуры корректирующего устройства.

Рассмотрим последовательность построения корневого годографа на конкретном примере.

Пример Построить корневой годограф системы, замкнутой единичной обратной связью, если передаточная функция разомкнутой системы

Передаточная функция имеет четыре полюса в точках 0, —3, —1 3: 1 и один нуль в точке —2. Последовательность этапов построения корневого годографа приведена ниже.

Этап 1. Отметить на плоскости комплексной переменной полюсы разомкнутой системы, являющиеся начальными точками корневого годографа. На рис. XII.5, а они показаны крестиками (здесь и далее из любых двух комплексно-сопряженных полюсов указывается один, с положительной мнимой частью).

Этап 2. Отметить нули разомкнутой системы, являющиеся конечными точками годографа. На рис. XII.5, б нуль изображен кружком. Поскольку в рассматриваемой системе существуют три асимптоты.

Этап 3. Построить асимптоты. Асимптоты расположены под углами, равными 60, 180, 300°, вычисляемыми по формуле (XII.39). Точка пересечения асимптот имеет координату

Фрагменты корневого годографа после трех этапов построения показаны на рис. ХII.5, в.

Этап 4. Отметить годограф на вещественной оси. Согласно свойству 4, участки вещественной оси от 0 до —2 и от —3 до принадлежат корневому годографу (рис. XI 1.5, г).

Этап 5. Определить точки пересечения годографа с мнимой осью. Характеристический многочлен замкнутой системы в данном случае

Выделяя действительную и мнимую части при и приравнивая их нулю, получаем

Рис. XII.5. (см. скан) Построение корневого годографа

Исключая из первого уравнения К, легко найти уравнение для определения значения частоты, при которой годограф пересекает мнимую ось:

Решая это уравнение, находим Из второго уравнения соотношения (XII.46) находим

Корневой годограф после выполнения этапа 5 пбказаи на рис. XII.5, д.

Этап 6. Определить углы выхода годографа из комплексного полюса. На рис. XII.5, е показаны векторы, проведенные от всех нулей и полюсов в окрестность исследуемого полюса. Уравнение аргументов (XII.42) в этом случае принимает вид

Поскольку исследуемая точка близка к при вычислении аргументов будем считать Тогда уравнение (XII.47) примет вид

или после подстановки значений аргументов, найденныхиз получим

откуда

Этап 7. Параметризация годографа. Годограф ечитают построенным полностью, если на отмечены значения параметра, по которому он строился. В общем случае для этого необходимо решать характеристическое уравнение (XII.45) на вычислительной машине. Однако в рассматриваемом случае для вычисления двух действительных полюсов при нахождении системы на границе устойчивости можно воспользоваться дополнительными условиями.

Сумма двух действительных полюсав равна —5, а произведение всех четырех полюсов . Таким образом, действительные полюсы определяют из следующих уравнений:

откуда Эти яолюсы и траектории всех четырех корней замкнутой системы показаны на рис. XI 1.6.

Рис. XII.6. Корневой годограф замкнутой системы

Приобретя необходимый навык, можно очень быстро определять в общих чертах вид корневого годографа при различном расположении нулей и полюсов разомкнутой системы.