7. МЕТОДЫ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Показатели качества импульсных систем регулирования определяются с помощью передаточных функций замкнутых систем:

где

Для определения характеристики переходного процесса по выражению (XV.170) воспользуемся формулой обратного z-преобразования

где — контур интегрирования в плоскости охватывающий особые точки подынтегрального преобразования.

Вычисление обратного -преобразования можно выполнять различными способами: на основе теоремы вычетов, разложением на простые дроби и др. [40, 75]. Рассмотрим первые два способа.

С помощью теоремы Коши значение интеграла (XV. 171) определяется в виде суммы всех вычетов внутри контура:

Функцию можно разложить на простые множители (см. гл. XII) и, применив обратное дискретное преобразование Лапласа, по таблице прил. VIII получить

Значение также можно получить в виде коэффициента при разложении в степенной ряд величины по степеням Из уравнений

и

следует, что

Поэтому, выполняя почленно обратное преобразование, получим

Возможность получения обратного -преобразования реакции импульсной системы путем разложения в степенной ряд в большинстве случаев упрощает нахождение показателей качества, так как позволяет избежать вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

При использовании векторно-матричного математического аппарата для описания импульсных систем переходные процессы определяют по формуле (XV. 103) с последующим применением обратного -преобразования одним из рассмотренных выше способов.

Пример XV.19. Построить переходный процесс в импульсной системе регулирования, если ее структурная схема имеет вид, показанный на рис. XV.30. Определим функцию

Замкнутая Передаточная функция системы находится по следующему выражению:

откуда

Будем считать, что управляющее воздействие тогда дискретное -преобразование

С помощью выражений (XV.178) и (XV.179) выходной сигнал запишем в виде

Рис. XV.30. Структурная схема системы для примера XV. 19

Рис. XV.31. Переходный процесс в импульсной системе

Переходный процесс в импульсной системе определим тремя способами.

1-й способ. По формуле (XV. 172) найдем для чего найдем вычеты

откуда

Подставляя значение получим переходный процесс в тактовые моменты времени (рис. XV.31).

2-й способ. Разложим функцию на простые множители:

Отсюда

Применив к выражению (XV. 181) обратное z-преобразование, получим

Подставляя значение определим переходный процесс по формуле (XV.182) в тактовые моменты времени (рис. XV.31).

3-й способ. Из выражения (XV. 180) следует, что

Деление полинома числителя на полином знаменателя выражения (XV. 183) дает

Коэффициенты ряда (XV. 184) при равны значению переходного процесса в тактовые моменты времени (рис. XV.31).