6. АСТАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ (ТРЕХФАЗНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДВИГАТЕЛЬ, ЯДЕРНЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ РЕАКТОР НА ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНАХ, КОСМИЧЕСКИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫЙ АППАРАТ)

Рассмотрим вывод уравнений динамики для астатических объектов: трехфазного асинхронного двигателя (устойчивого и неустойчивого), ядерного энергетического реактора на тепловых нейтронах и космического летательного аппарата, совершающего полет в безвоздушном пространстве.

Трехфазный электрический двигатель. Составим уравнение динамики трехфазного асинхронного двигателя, пользуясь регулировочными характеристиками (кривые 1 на рис. 111.17). Здесь же показана кривая 2 для момента сопротивления Выполним линеаризацию характеристик в окрестности точки Тогда по аналогии с уравнением (111.20) запишем, что

Исключив из уравнения (111.77) соотношение для установившегося режима получим

Уравнение (III.78) приведем к виду

Рис. 111.17. Характеристика для трехфазного асинхронного двигателя с тремя положениями характеристики

Рис. 111.18. Переходные характеристики асинхронного трехфазного электродвигателя (устойчивого и неустойчивого)

где

Если принять, что производная от относительного угла поворота равна относительной угловой скорости, то из (III.79) получим следующее уравнение:

Его решение при нулевых начальных условиях и единичном ступенчатом воздействии будет

На рис. III.18 кривой 1 показана зависимость при Из рисунка видно, что переходная функция при с линейно возрастает. Это указывает на то, что трехфазный асинхронный электродвигатель явлйется астатическим объектом. Решение (III.81) было получено при

Если кривая займет положение 4 (см. рис. III.17), то в окрестности точки имеем и линеаризованное уравнение трехфазного асинхронного электродвигателя примет вид

Решение этого уравнения при тех же условиях, что и для (III.80), будет

Кривая 2 на рис. 111.18 показывает данную зависимость при . В этом случае астатический объект регулирования является неустойчивым. Кривая 3 на рис. II 1.17 является характеристикой для тогда линеаризация в окрестности точки невозможна,

Рис. 111.19. Схема ядерного энергетического реактора на тепловых нейтронах

так как при замене на линеаризованное уравнение принимает вид уравнения (III.80), а при замене со на линеаризованное уравнение будет типа (III.82). Решение этих уравнений совершенно различно, поэтому линеаризация в окрестности точки не может быть выполнена.

Ядерный энергетический реактор на тепловых нейтронах. Ядерный реактор на тепловых нейтронах применяют в качестве энергетического блока атомных электростанций. В центральной части блока реактора 1 (рис. III. 19) размещается урановое топливо 3 и замедляющее вещество 4. Управляющие стержни 5 при вводе их внутрь реактора поглощают нейтроны. При выводе стержня увеличивается число нейтронов, и при их поглощении ядрами урана образуются новые нейтроны.

Ядро урана, поглотившее нейтрон, испускает два-три нейтрона. При этом образуется цепная реакция с выделением тепловой энергии. Мощность ядерного реактора зависит от числа поглощаемых нейтронов. Поэтому, перемещая управляющие стержни вверх или вниз, добиваются установки требуемой мощности реактора. Через активную зону реактора проходят трубопроводы 6, в которых циркулирует теплоноситель. Теплоноситель передает тепло через парогенератор турбине (см. рис. 11.10).

Плотность нейтронного потока измеряется с помощью ионизационной камеры 2 (рис. III. 19). Скорость изменения плотности нейтронного потока определяется по уравнениям кинетики реактора [72], которые выводятся без учета влияния температуры и отравления продуктами распада. Итак, для шести групп запаздывающих нейтронов имеем

где — изменение реактивности при перемещении стержня; — доля запаздывающих нейтронов группы; — время жизни запаздывающих нейтронов группы; — концентрация носителей запаздывающих нейтронов группы; I — среднее эффективное время жизни нейтронов.

Скорость изменения концентрации носителей запаздывающих нейтронов запишем в виде

Суммарную долю запаздывающих нейтронов представим как сумму долей запаздывающих нейтронов группы:

Имея в виду выражение (II 1.86), уравнения приведем к виду

откуда получим следующие уравнения кинетики:

Линеаризуем полученные уравнения, пользуясь малыми приращениями, т. е.

где приращения переменных.

После линеаризации система уравнений (111.89) примет вид

Уравнения (111.91) являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Если считать, что реактивность в реакторе изменяется пропорционально перемещению стержня то можно записать

Исключив из системы уравнений (II 1.91) и (II 1.92) промежуточные переменные, получим систему уравнений седьмого порядка:

(см. скан)

(см. скан)

где — соответствующие постоянные времени ядерного реактора; — коэффициент усиления по мощности реактора.

Космический летательный аппарат. Рассмотрим космический летательный аппарат с двумя реактивными двигателями, жестко скрепленными с его корпусом. Схема изображена на рис. III.20. Из данной схемы следует, что движение КЛА происходит вокруг оси связанной с базовой системой координат . В этом случае уравнение динамики КЛА имеет вид

где — главные моменты инерции КЛА относительно осей проекции угловой скорости вращения космического аппарата на оси связанной системы координат; — момент от тяги реактивного двигателя.

При движении аппарата в одной плоскости угловые скорости тогда с помощью рис. 111.20 нетрудно установить, что

Подставляя выражение (III.95) в уравнение (III.94), получим

Если считать, что сигнал управления движением приводит к мгновенному появлению тяги двигателя то

где — передаточный коэффициент двигателя.

С учетом выражения (III .97) уравнение (111.96) примет окончательный вид

Рис. 111.20. Схема космического летательного аппарата с двумя двигателями, жестко закрепленными на корпусе

Решение данного дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях и единичном ступенчатом воздействии будет

Отсюда следует, что рассматриваемый объект регулирования также является астатическим. Наличие сомножителя в виде [сравните с выражениями (II 1.81) и (II 1.83), где время входит в первой степени] указывает на второй порядок астатизма у объекта регулирования.