8. ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

С помощью полученных вещественных или мнимых частотных характеристик можно определять показатели качества систем автоматического регулирования, не прибегая к интегрированию выражений (XII.108), Для этого существуют два способа оценки качества: 1) по виду вещественной частотной характеристики и 2) по номцграммам В. В. Солодовникова.

Оценка переходных процессов по виду вещественных частотных характеристик. Выше было установлено, что переходный процесс в системе выражается через действительную частотную характеристику замкнутой системы по формуле

На основании формулы (XII. 132) можно сделать вывод, что различным вещественным частотным характеристикам соответствуют различные переходные процессы. Выделим несколько свойств вещественных частотных характеристик, позволяющих оценивать показатели качества систем автоматического регулирования. Часть из этих свойств доказывается строго, а остальные базируются на расчетно-экспериментальных данных, поэтому их применение для оценки показателей качества в ряде случаев требует непосредственной проверки (т. е. построения переходного процесса с помощью -функций).

Свойство 1. Изменение масштаба по оси ординат. Если изменить масштаб по оси ординат вещественной частотной характеристики в раз, то масштаб кривой переходного процесса изменится в то же число раз. Для доказательства этого свойства достаточно умножить правую и левую части уравнения (XII. 132) на :

Это свойство иллюстрируют графики на рис. XII.15, а, б.

Свойство 2. Изменение масштаба по оси абсцисс. Если увеличить (или уменьшить) в раз масштаб аргумента вещественной частотной характеристики, то масштаб кривой переходного процессу уменьшится (увеличится) в то же число раз.

Рис. XII.15. Вещественные частотные характеристики и соответствующие им переходные процессы

Обозначим переходный процесс, обусловленный изменением масштаба аргумента раз, через Этот процесс удовлетворяет соотношению

Введем новую переменную со тогда

Из последнего соотношения с учетом равенства (XII. 132)

тогда

Это свойство иллюстрируют графики на рис. XII. 15, а, в.

Свойство 3. Установившееся значение переходного процесса. Согласно теореме о конечном значении имеем

Для принятого нами единичного воздействия получим

Подставив выражение (XII.137) в соотношение (XII.136), найдем

При этом действительная часть частотной характеристики равна ее мнимая часть поэтому из соотношения (XII.138) следует

Свойство 4. Начальное значение переходного процесса. Как известно, порядок числителя передаточной функции замкнутой системы всегда меньше порядка знаменателя. Поэтому

Если в передаточной функции системы относительно ошибки порядок числителя равен порядку знаменателя, то

Свойство 5. Максимум перерегулирования при невозрастающей вещественной частотной характеристике. Частотная характеристика на интервале

Рис. XII.16. Виды положительных невозрастающих вещественных частотных характеристик

положительности имеет вид кривой, показанной на рис. XII. 16, а. Представим ее в виде суммы

Известно, что сумма знакопеременного сходящегося ряда (XII. 142) не может превышать значения его первого члена. Поэтому

Последнее неравенство можно усилить, если вместо подставить Р (0), т. е.

Введем новую переменную Тогда неравенство (XII.144) можно переписать в виде

откуда

Определим

тогда

Для вещественной частотной характеристики, имеющей вид прямоугольника (рис! XII. 16, б), неравенство (XII.148) станет равенством, т. е.

Свойство 6. Зависимость максимума перерегулирования от пика вещественной частотной характеристики. Рассмотрим вещественную частотную характеристику на интервале положительности (рис. XII.17, а). Разобьем ее на две характеристики (рис. XII. 17, б), т. е.

где

Рис. XII.17. Вещественные частотные характеристики с

Тогда формулу для определения переходного процесса можно предста вить в следующем виде:

Второй интеграл всегда положителен, т. е.

На основании свойства 5 запишем

откуда

Свойство 7. Условия монотонности переходного процесса. Сформулируем необходимые условия в следующем виде:

где при данном означает целую часть числа График ступенчатой функции

изображен на рис. XII. 18.

Рассмотрим достаточные условия. Для того чтобы переходный процесс, определяемый формулой (XII. 132), был монотонным, достаточно иметь вещественную частотную характеристику в виде непрерывной положительной функции от с отрицательной монотонно возрастающей (убывающей по абсолютной величине) функцией (рис. XII. 19).

Для доказательства этого свойства разобьем характеристику на большое число наклонных треугольных характеристик показанных на рис. XII. 19. Для каждой треугольной характеристики можно записать

где

Из построения на рис. XII. 19 видно, что интервал частот каждой предыдущей вещественной характеристики меньше, чем последующей, т. е.

Формулу для каждой составляющей переходного процесса можно записать в виде

Подставим соотношение (XII. 159) в формулу (XII. 160) и после некоторых преобразований получим

где

Продифференцировав уравнение (XII. 161), найдем

откуда

Условие (XII. 164) получено для всех Из этого условия при в соответствии с теоремой о конечном значении следует, что функция монотонно возрастает и асимптотически стремится к своему установившемуся значению.

Свойство 8. Время переходного процесса и максимум перерегулирования сгшах, когда вещественная частотная характеристика мало отличается от трапецеидальной. Если невозрастающую непрерывную вещественную

Рис. XII.18. График характеристики удовлетворяющей условиям монотонности

Рис. XII.19. Разложение монотонно убывающей вещественной частотной характеристики на ряд треугольных характеристик

Рис. XII.20. Графики для определения при невозрастаюющих вещественных частотных характеристиках: а — аппроксимация характеристики трапецеидальной характеристикой; б - график для определения в — график для определения

частотную характеристику (см. рис. XII. 16, а) можно заменить эквивалентной трапецеидальной частотной характеристикой с частотами (рис. XII.20, а), то время переходного процесса будет находиться в пределах

Более точно время регулирования можно оценить по кривой на рис. XII.20, б. Величина перерегулирования сгшах определяется с помощью кривой на рис. XI 1.20, в. Абсциссой для данных графиков служит коэффициент наклона трапецеидальной частотной характеристики

Свойство 9. Зависимость времени переходного процесса от длины интервала положительности. Если вещественная частотная характеристика на интервале то время переходного процесса заведомо больше, чем т. е.

Свойство 10. Время протекания монотонного переходного процесса. Если для удовлетворяется свойство 7, то время протекания переходного процесса будет заведомо больше т. е.

Свойство 11. Изменение переходного процесса при изменении вещественной частотной характеристики в области высоких частот. Рассмотрим характеристики существенно различающиеся в области высоких частот (рис. XII.21, а). Найдем разность двух вещественных функций:

и будем считать, что

Кроме того, функция - является невозрастающей при тогда разность ограничена сверху значением

Интеграл (XII. 170) представляет собой функцию интегрального синуса, и его легко вычислить с помощью соответствующих таблиц

При найдем

Из формулы (XII. 171) имеем следующие следствия.

Следствие 1. Формула (XII.171), определяющая верхний предел указывает на то, что переходная функция является монотонно убывающей.

Следствие 2. Оценку и сттах следует производить в интервале времени поэтому при оценке показателей качества значение входящее в нижний предел интегрирования, следует брать меньше

Следствие 3. Величина верхнего предела для тем меньше, чем больше частоты, на которых расходятся характеристики и чем меньше верхний предел их разности.

Свойство 12. Изменение переходного процесса при изменении вещественной частотной характеристики в области низких частот. Возьмем существенно различающиеся в области низких частот и в малой степени различающиеся в области высоких частот (рис. XII.21, б). Тогда

и при . Учитывая это, формулу (XII. 171) можно переписать в виде

где

Из выражения (XII. 173) следует, что погрешность при определении переходного процесса увеличивается пропорционально времени причем коэффициент пропорциональности находят по формуле (XII. 174).

Рис. XII.21. Вещественные частотные характеристики: а — существенно различающиеся в области высоких частот; б — существенно различающиеся в области низких частот

Рис. XII.22. Вещественные частотные характеристики

Пример XII.8. Определить по виду вещественной частотной характеристики, представленной на рис. XII.22, а, показатели качества, пользуясь свойствами Отбросим высокочастотную часть характеристики при и определим коэффициент наклона

Тогда с помощью свойства 8 по рис. XII.20, 6 определим , а по рис. XII.20, в найдем Для сравнения по формуле (XII.165) найдем

Пример XI 1.9. Определить по виду частотной характеристики, представленной на рис. XII.22, б, показатели качества. Отбрасывая снова высокочастотную характеристику для с помощью свойства 6 находим

Так как в частном случае то по свойству 9 найдем

Пример XI 1.10. Определить характер протекания переходного процесса по следующей передаточной функции:

где К — переменная величина, принимающая два значения:

Подставив в выражение (XII.175) , определим две вещественные частотные характеристики при и при Соответствующее построение выполнено на рис. XI 1.23. Пользуясь свойством 7, получим, что кривая удовлетворяет только первому условию монотонности [формула (XI 1.155)], остальным условиям [формулы (XI 1.156), (XII.157)] она не удовлетворяет. Поэтому переходный процесс не является монотонным. Кривая удовлетворяет всем условиям монотонности. На рис. XII.24 построен монотонный переходный процесс

Рис. XII.23. Вещественные частотные характеристики для системы автоматического регулирования при

Рис. XII.24. Характеристика монотонного переходного процесса, соответствующая вещественной характеристике

Рис. XII.25. Разбиение вещественной частотной характеристики на две трапеции

Рис. ХII.26. Номограммы В. В. Солодовникова для оценки показателей качества по виду вещественных частотных характеристик: а — номограмма А: ; б - номограмма

Оценки показателей качества по номограммам В. В. Солодовникова. На основании расчетов переходных процессов по вещественным частотным характеристикам В. В. Солодовников предложил оценивать показатели качества ашах и в зависимости от величины максимума вещественной частотной характеристики, заданной на интервале положительности

Вещественную частотную характеристику на интервале положительности разобьем на две трапеции, как это показано на рис. XI 1.25. Определим частоты в точках излома аппроксимирующих прямых, по которым найдем следующие параметры:

В зависимости от этих параметров были составлены две номограммы: номограмма А — для и номограмма Б — для (рис. XII.26). Пользуясь этими номограммами и зная и частоту среза можно найти

Пример XII.11. По вещественной частотной характеристике (см. рис. XII.17, а) определить показатели качества ашах и системы автоматического регулирования. Из рис. XII. 17, а видно, что

Следовательно, для нахождения показателей качества следует пользоваться номограммой Б (рис. XII.26, б); определив из рис, XII.17, а по номограмме Б получим