5. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЗВЕНЬЯ (УСТОЙЧИВЫЕ И НЕУСТОЙЧИВЫЕ)

Устойчивое колебательное звено характеризуется передаточной функцией

Для неустойчивых колебательных звеньев имеем передаточную функцию вида

или

Составим дифференциальные уравнения для этих трех звеньев:

Если в уравнении (Х.58) оба знака положительны, то переходная функция устойчивого колебательного звена имеет вид

Данное уравнение описывает затухающий колебательный процесс с коэффициентом затухания и угловой частотой Переходные функции для этого звена построены на рис. X.11: кривая 2 при кривая 3 при и кривая 4 при и Как видно из рис. Х.11, с уменьшением степень колебательности переходного процесса сильно возрастает. На этом же рисунке для сравнения показан переходный процесс при (кривая 1). В этом случае передаточная функция колебательного звена может быть представлена в виде двух апериодических звеньев:

Рис. Х.11. Реакции колебательных звеньев на единичное ступенчатое воздействие

Переходная функция для неустойчивого звена имеет следующий

Из формулы (X.60) видно, что при положительном коэффициенте затухания 1 переходная функция с ростом времени будет увеличивать свою амплитуду. При функция что указывает на неустойчивость колебательного звена.

Найдем теперь переходную функцию по передаточной функции . В этом случае

В полученном выражении имеется член который указывает на рост функции с увеличением (т. е. при функция , что также указывает на неустойчивость этого звена).

Амплитудно-фазовые частотные характеристики колебательных звеньев Подставим в выражение тогда получим

С помощью этих выражений на рис. Х.12 для параметров построены амплитудно-фазовые характеристики колебательного звена. Здесь же для сравнения построена характеристика при

На основании выражений можно определить

Для неустойчивого колебательного звена из выражения имеем

По этим формулам на рис. построена амплитудно-фазовая частотная характеристика для неустойчивого колебательного звена при

Имея в виду выражения нетрудно получить следующие формулы:

Рис. Х.12. Амплитудно-фазовые частотные характеристики колебательных звеньев при

Рис. Х.13. Амплитудно-фазовая частотная характеристика неустойчивого колебательного звена

Рис. Х.14. Амплитудно-фазовая частотная характеристика ввена, имеющего передаточную функцию

Для звена с передаточной функцией при найдем

Для на рис. Х.14 построена амплитудно-фазовая частотная характеристика. Амплитудная и фазовая характеристики определяются по формулам

Логарифмические амплитудные и фазовые характеристики колебательных звеньев. Прологарифмируем формулу тогда получим

По формулам на рис. построены логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики колебательного звена при различных значениях ?. Для интервала можно пользоваться упрощенной логарифмической амплитудной характеристикой, которая определяется следующим образом.

Пусть ; тогда из формулы имеем

Рис. Х.15. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фазовая частотная характеристики колебательного ввена

При получим

Подставим в полученную формулу тогда

Далее примем и снова подставим в формулу откуда найдем

Взяв разность выражений получим

Таким образом, приближенная логарифмическая амплитудная характеристика может быть представлена двумя прямыми: с наклоном до значения и далее с наклоном Необходимо заметить, что при малых значениях нельзя пользоваться приближенной логарифмической амплитудной характеристикой, а следует пользоваться точной характеристикой (рис. Х.15).

(кликните для просмотра скана)

Рис. Х.18. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фаэошя частотные характеристики неустойчивого колебательного звена с передаточной функцией

Для практических построений логарифмических амплитудных характеристик необходимо пользоваться номограммой поправок (рис. которая получается при вычитании из точной характеристики; приближенной.

Логарифмические частотные характеристики для неустойчивого звена можно получить из формул (X. 66) и

Эти характеристики приведены на рис. На рис. Х.18 построены логарифмические амплитудная и фазовые частотные характеристики по формулам (Х.69) и (Х.70).

Из передаточной функции (X.55) можно получить вырожденную функцию, если в ней положить т. е.

Выражение представляет собой передаточную функцию консервативного звена. Аналогичным образом из передаточной функции при получим выражение

Для этих вырожденных передаточных функций в прил. II построены амплитудно-фазовые частотные характеристики, а в прил. III - логарифмические амплитудные и фазовые характеристики.