10. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Принцип суперпозиции решений уравнений для нелинейных систем автоматического регулирования несправедлив, т. е. нельзя складывать свободные и вынужденные колебания. Поэтому исследование вынужденных колебаний в нелинейных системах следует выполнять на основе метода гармонической линеаризации.

Уравнение динамики нелинейной системы запишем в виде

Положим, что внешнее воздействие

(кликните для просмотра скана)

и будем искать решение уравнения (XIV.212) при выполнении условия синхронизации, когда в динамической системе возникают колебания на частоте внешнего возбуждающего воздействия, т. е.

Иначе говоря, требуется определить

Внешнее воздействие запишем в виде [59]

Найдем производную от функции (XIV.214):

С учетом выражений (XIV.214) и (XIV.216) запишем соотношение (XIV.215) в следующем виде:

Подставив выражение (XIV.217) в уравнение (XIV.212), получим

Будем считать, что нелинейность допускает только симметричные колебания, т. е.

где

Выполним гармоническую линеаризацию нелинейности

где

и, подставив выражение (XIV.220) в уравнение (XIV.218), получим

Уравнение (XIV.222) перепишем в операторной форме, имея в виду, что

т. е.

Из этого уравнения найдем

Рис. XIV.58. Графики для определения характеристик первым способом

Для определения из этого уравнения воспользуемся двумя способами, предложенными Е. П. Поповым [59].

1-й способ. Обозначим левую часть уравнения (XIV.224) через . Построим график этой функции для трех значений в зависимости от А в рис. XIV.58, а. Правую часть уравнения (XIV.224) построим на том же рисунке в виде семейства концентрических окружностей с радиусами . В точке пересечения окружности радиуса с кривой найдем амплитуду вынужденных колебаний и фазовый сдвиг

На рис. XIV.58, б построена кривая изменения амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынужденных колебаний <вв, полученная по данным рис. XIV.58, а. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от амплитуд внешних периодических воздействий Вв показана на рис. XIV.58, б.

2-й способ. Уравнение (XIV.224) перепишем в виде

Обозначим

и подставим (XIV.226) в уравнение (XIV.225); тогда получим

или

откуда найдем

Рис. XIV.59. (см. скан) Графики для определения характеристик вторым способом

Введем следующие обозначения:

тогда получим

С помощью выражений на рис. XIV.59, а-в построены соответствующие частотные характеристики. Для получения амплитудных

и фазовых

частотных характеристик кальку с характеристиками и XIV.59, а) наложим на номограмму замыкания, совмещая ее начало координат с точкой на кривой имеющей заданные амплитуду и частоту (рис. XIV.59, б). Значения амплитуд и фаз нелинейной системы определим по точке пересечения логарифмической амплитудно-фазовой характеристики с кривыми номограммы для частот где соблюдается условие Соответственно с этим получим фазовую характеристику Перемещая кальку с кривыми по номограмме, получим характеристику (рис. XIV.59, б), полностью совпадающую с соответствующей характеристикой на рис. XIV.58, б.

Если внешнее воздействие приложить ко входу системы, то передаточную функцию замкнутой нелинейной системы можно записать в виде

где

Зная эквивалентные характеристики и нетрудно найти (рис. XIV.58, а, б). В результате получим семейство логарифмических амплитудных и фазовых характеристик замкнутых нелинейных систем, откуда можно найти зависимость (Вв), которая также совпадает с кривой на рис. XIV.58, в.

Для целого ряда нелинейных систем автоматического регулирования характеристика пересекается с окружностями радиуса лишь до некоторого порогового значения (рис. XIV.60, а). Таким образом, при различных значениях получим зависимость Вв — (рис. XIV.60, б). Изменяя получим также зависимость Ввпор (рис. XIV.60, в), из которой видно, что в нелинейной системе возникают одночастотные колебания только при Ввпор в области синхронизации. При имеем Существуют и такие нелинейные системы автоматического регулирования, у которых наблюдаются режимы устойчивых состояний, автоколебаний и захватывания (рис. XIV.60, г).

Пример XIV. 13. Определить формулы для вычисления вынужденных колебаний в релейной следящей системе (см. рис. XIV.46) и найти условие захватывания.

Перепишем уравнение следящей системы (XIV. 159) для тогда получим.

Пусть периодическое внешнее воздействие При этом

и эквивалентный коэффициент усиления релейного элемента

Подставив выражения (XIV.236) и (XIV.237) в уравнение (XIV.235), найдем

Рис. XIV.60. Определение областей захватывания и автоколебаний нелинейной системы автоматического регулирования

Из уравнения (XIV.238) получим

Из этих двух уравнений найдем [59]

где

Возведем выражения (XIV.240) в квадрат, и пдсле их сложения получим квадратное уравнение

откуда найдем

Поделив первое уравнение системы (XIV.240) — на второе, получим

Из этого выражения следует, что вынужденные колебания существуют (иначе говор, имеет, место явление захватывания), когда при выполняется условие

или

С помощью неравенства (XIV.244) можно определить область захватывания, если . В свою очередь, Ввпор зависит от параметров системы На рис. XIV.61 построены области захватывания в зависимости от при

Пример XIV. 14. Определить семейство логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик замкнутой нелинейной системы, состоящей последовательно соединенных линейной части с передаточной функцией

и нелинейной части, содержащей однозначную нелинейность (типа зоны насыщения с ). На рис. XIV.62, а показана номограмма замыкания с двумя логарифмическими амплитудно-фазовыми частотными характеристиками при на рис. XIV.62, бив изображены семейства логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик нелинейных замкнутых систем регулирования.

Рис. XIV.61. Зависимость для релейной системы автоматическое регулирования

Рис. XIV.62. (см. скан) Семейства логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик в замкнутой нелинейной системе