4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОГО АППАРАТА К ИМПУЛЬСНЫМ СИСТЕМАМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Для исследования импульсных систем автоматического регулирования во временной области целесообразно воспользоваться методом пространства состояний, рассмотренным для непрерывных систем в гл. IX. Применение векторно-матричного математического аппарата и в этом случае позволяет записывать в более компактном виде как уравнения системы регулирования, так и их решения; этот метод, кроме того, имеет хорошую наглядность.

Рассмотрим поведение динамической системы, изображенной на рис. XV. 18, в режиме импульсного управления. Непрерывная часть данной системы стационарна и описывается векторно-матричными уравнениями состояния вида

Как известно [см. выражение (IX.217)], решение дифференциального уравнения состояния в этом случае будет

где — заданное начальное состояние.

Пусть для простоты

Найдем значения функции в фиксированные моменты времени Из выражения (XV.55) имеем

Поэтому необходимо определить состояние в дискретные моменты времени. Рассматривая решение дифференциального уравнения состояния (XV.56) в дискретные моменты времени, получим

Рис. XV. 18. Импульсная динамическая система

Объединяя соотношения (XV.57) и (XV.58), найдем выборку выходного сигнала импульсной системы Конкретные значения компонентов вектора управляющего воздействия в подынтегральных выражениях определяются типом преобразования «аналог—код», используемого в системе регулирования. Преобразователь сглаживает импульсы подаваемые на систему регулирования. При использовании преобразователя нулевого порядка компоненты вектора управляющего воздействия будут кусочно-постоянными. Поэтому

и решение уравнения состояния примет вид

Рассмотрим во втором слагаемом выражение в скобках и перепишем его в виде

Произведем замену переменных тогда получим соотношение

Так как для стационарных систем подынтегральное выражение является постоянной матрицей, соотношение (XV.61) приводится к виду

где I — единичная матрица.

Таким образом, при наличии преобразователя нулевого порядка можно записать следующее решение уравнения состояния:

Сравнение данных соотношений с выражениями (XV.55) показывает, что импульсная система автоматического регулирования с периодом Т описывается следующими дискретными уравнениями состояния:

где фундаментальная матрица

и матрица

Найдем решение полученного дискретного уравнения состояния (XV.63). Для вектора заданного начального состояния у (0) получим

После сравнения полученного выражения с формулой (IX.216) заключаем, что в данном случае можно рассматривать дискретную переходную матрицу состояния

причем

Используя понятие переходной матрицы из соотношений (XV.63) и (XV.66) найдем

При и нулевых начальных условиях [у последнее уравнение примет вид

Если положить

то

или при

Полученные выражения называются сверткой системы и являются аналогом интеграла свертки, определенного для непрерывных систем. Коэффициент определяет вес входной функции при в образовании выходного сигнала Поэтому матрица является весовой.

Пример XV.3. Найти дискретные уравнения состояния для динамической системы, рассмотренной в примере IX.11. Имеем

в этом случае

и

Так как

то

тогда получим

Таким образом, дискретные уравнения состояния примут вид

и

Непосредственное использование уравнений (XV.65)-(XV.73) для нахождения реакции импульсной системы в дискретные моменты времени без применения ЦВМ затруднительно. Анализ систем с дискретным временем значительно упрощается, если ввести -преобразование. С его помощью разностное уравнение, описывающее поведение системы, преобразуется в линейное алгебраическое уравнение, которое решить намного легче, чем исходное. Поскольку дискретный сигнал получается из непрерывного посредством выборки, то -преобразование определяется с помощью преобразования Лапласа.

Сущность -преобразования заключается в использовании подстановки

откуда

Подставив соотношения (XV.74) и (XV.75) в формулу (XV.8), получим (XV.76)

По аналогии с этим выражением можно записать

Как известно, любую выходную импульсную функцию [см. формулу (XV.3)] можно представить в виде

где — импульсная переходная функция, передаточная функция которой будет

Для момента времени выражение (XV.78) представим в виде

Подставив в выражение (XV.77) соотношение (XV.78), получим

Подставим вместо тогда выражение (XV.80) будет иметь вид

Перепишем выражение (XV.81) в следующей форме:

где

откуда

и передаточная функция разомкнутой системы в форме -преобразования имеет вид

Часто вместо записи в виде выражения (XV.86) пользуются следующей формой записи:

Сравнив виды записи выражений (XV.38) и (XV.85), заметим, что в форме -преобразования все функции со звездочкой заменены функциями от новой переменной Поэтому передаточные функции (XV.41) и (XV.43) можно представить в виде

и

Пользуясь формой -преобразования, передаточные функции перепишем в виде (см. табл. XV. 1).

Вычисление -преобразований для простейших импульсных функций основано на использовании выражений (XV.83) или (XV.84). Рассмотрим несколько примеров вычисления -преобразования импульсных функций.

Припер XV.4. Найти -преобразоваине для импульсной функции При имеем

при (XV.90)

Прямое преобразование Лапласа для оригинала функции можно представить в виде

Имея это в виду, выражение (XV.90) можно записать в следующем виде:

Пример XV.5. Найтн -преобразование для импульсной функции При получим

Прямое преобразование Лапласа для оригинала функции будет

или в форме -преобразовання

Пример XV.6. Задано Вычислим частную производную. Для этого представим заданную функцию в виде после чего найдем частную производную

Пользуясь выражением (XV.73), определим

Пример XV.7. Задано найти Для этого разложим функцию на элементарные слагаемые:

или

Пример XV.8. Найти z-преббразование для импульсной функции Дикую функций можно представить в виде

Если период дискретности то запаздывание составляет целое число тактов. Поэтому можно найти

Выражение (XV.97) при примет вид

Трудность построения амплитудно-фазовых характеристик импульсных систем при слабом фильтрующем действии непрерывной части систем может быть также легко преодолена применением к передаточным функциям разомкнутых систем z-преобразования. Получающиеся таким образом передаточные функции имеют один годограф, полностью учитывающий все частотные составляющие.

Пример XV.9. Найти -преобразоваиие по передаточной функции (XV.50):

Приняв , получим

откуда

или в окончательном виде

Для ряда передаточных функций и возмущений в прил. VIII приведены таблицы функций

Для нахождения решений дискретных уравнений состояния линейных импульсных систем можно использовать z-преобразование. Согласно выражениям (XV.63) разностные уравнения состояния имеют вид

Применив к данным уравнениям z-преобразование, получим

откуда

Эти уравнения позволяют находить изображение реакции импульсной системы при заданных начальных условиях состояния и управляющем воздействии.

Теперь применим z-преобразование к соотношению (XV.68); тогда с учетом выражения (XV.84) запишем

Сравнивая данное выражение с соотношением (XV. 102), заключаем, что изображение переходной матрицы состояний импульсной системы

С помощью выражений (XV.102) и (XV.103) можно в компактной форме получить соотношения для нахождения передаточных функций импульсной системы. Перепишем изображения уравнений состояния при нулевых начальных условиях:

Уравнения (XV. 106), (XV. 107) позволяют получить передаточные функции импульсной системы из уравнений, записанных в виде переменных состояния.

Если то из уравнений (XV.71), (XV.72) и (XV. 107) следует, что передаточная функция импульсной системы

Пример XV. 10. Найти передаточную функцию импульсной системы из примера XV.3. В этом случае

Тогда

откуда

(см. скан)

поэтому

Данная импульсная система имеет передаточную функцию непрерывной части

Найдем импульсную передаточную функцию обычным способом, пользуясь разложением на элементарные слагаемые:

что совпадает с полученным выше результатом.

Из рассмотрения приведенных выше простых задач может создаться впечатление, что анализ импульсных систем методом переходных состояний является более сложным, чем анализ классическим методом. Эти примеры были выбраны только для иллюстрации метода анализа, изложенного в данном параграфе. В действительности, рассматриваемый общий подход значительно превосходит классический по удобству и эффективности при анализе сложных импульсных систем автоматического регулирования.