1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИМПУЛЬСНЫХ УСТРОЙСТВ

Рассмотрим часть структурной схемы наиболее общей импульсной системы регулирования (рис. XV.4), состоящей из преобразователя «аналог—код» импульсное устройство); ЦВМ (импульсное устройство); преобразователя «код—аналог» в который входят импульсные и непрерывные элементы.

Блок-схема участка схемы с импульсными устройствами изображена на рис. XV.5, а. Преобразователь выполняет квантование во времени входного сигнала с постоянной частотой (или периодом Т). Такое импульсное устройство (рис. XV.6, а) пропускает сигнал лишь в очень короткий промежуток времени и не пропускает сигнал в течение остального периода времени Т. На рис. XV.6, б показаны сигналы во временной

Рис. XV.4. Блок-схема импульсной системы автоматического регулирования с ЦВМ

Рис. XV.5. Участок схемы импульсной системы автоматического регулирования

Рис. XV.6. Виды сигналов на входе и выходе импульсного устройства

области в различных участках импульсного устройства. Как видно, на выходе импульсного устройства образуется последовательность узких импульсов, огибающая которых соответствует входному сигналу. Таким образом, импульсное устройство можно рассматривать как модулятор, преобразующий непрерывный сигнал в последовательность импульсов, когда длительность импульсов

Преобразователь состоит из собственно модулятора, куда поступает сигнал и блока последовательности единичных импульсов и (см. рис. XV.5, б). На выходе модулятора образуется дискретный сигнал

Если считать, что широта импульсов то на выходе модулятора имеем последовательность импульсов, амплитуды которых равны значениям непрерывной функции в тактовые моменты времени:

Это положение упрощает математический аппарат импульсных систем регулирования. В этом случае единичную немодулированную последовательность импульсов с представим в виде

Подставляя выражение (XV.2) в формулу (XV. 1), получим

или

Выражение (XV.4) записано через оригиналы функций. Применяя к нему дискретное преобразование Лапласа вида

найдем

В выражении (XV.6)

поэтому

Перейдем к рассмотрению соответствующих математических зависимостей в частотной области. Для этого воспользуемся рядом Фурье. Тогда немодулированную последовательность импульсов можно записать в виде

В соответствии с этим выражение (XV.3) представим как

Умножим обе части равенства (XV.10) на после чего проинтегрируем их в пределах от 0 до

откуда получим

или, введя обозначение

Из выражения (XV. 13) видно, что дискретный сигнал представляет собой бесконечное число входных сигналов.

Для более наглядного уяснения полученных математических зависимостей рассмотрим прохождение сигналов через схему импульсных устройств, показанную на рис. XV.5, б. Цифровую вычислительную машину представим в виде фильтра низких частот, а преобразователь в виде сглаживающего фильтра. Будем также считать, что на ЦВМ реализуется программа дифференцирования:

Пользуясь этими положениями, проанализируем прохождение сигналов через схему, изображенную на рис. XV.5, б, во временной (рис. XV.7, а— д) и частотной (рис. XV.7, е - к) областях. Непрерывный сигнал (рис. XV.7, а), пройдя через модулятор, на который поступает также последовательность единичных импульсов (рис. XV.7, б), преобразуется в дискретный сигнал (рис. XV.7, в). Сигнал поступает на ЦВМ, где реализована программа дифференцирования (XV. 14). Сигнал изображен на рис. XV.7, г. Далее дискретный сигнал поступает на преобразователь где он интерполируется по постоянному уровню. При этом образуется непрерывный сигнал о вид которого после сглаживания показан на рис. XV.7, д штриховой линией. Сигнал о представляет собой производную от входного непрерывного сигнала, т. е. а

Рис. XV.7. (см. скан) Виды сигналов в различных точках блок-схемы, изображенной на рис. XV, 51 б: а-д - во временной; к — в частотней областях

Перейдем к анализу прохождения сигналов в частотной области. Амплитудная характеристика непрерывного сигнала показана на рис. XV.7, е. Единичная последовательность импульсов в частотной области изображена на рис. XV.7, ж. В соответствии с формулой (XV. 13) после подстановки получим

откуда видно, что амплитудная характеристика дискретного сигнала состоит из бесконечного числа непрерывных сигналов в моменты (рис. XV.7, з). Сигнал на выходе (рис. XV.7, и).

После прохождения этого сигнала через преобразователь происходит его сглаживание, и преобразователь пропускает лишь основную гармонику сигнала Остальные гармоники при сглаживаются и практически не пропускаются преобразователем. Таким образом, бесконечный спектр превращается в конечный спектр

Для определения передаточной функции импульсного устройства воспользуемся выражением (XV. 13), откуда получим

Если после импульсного устройства установлен фильтр низких частот, не пропускающий гармоники от и выше, то на основании выражения (XV. 16) при можно получить передаточную функцию импульсного устройства в виде

откуда видно, что импульсное устройство (преобразователь представляет собой ключ мгновенного срабатывания, замыкаемый в тактовые моменты времени Схема подобного устройства в виде структурного элемента показана на рис. XV.8, а.

Передаточная функция ЦВМ при реализации на ней операции дифференцирования получается после применения к выражению (XV. 14) дискретного преобразования Лапласа:

откуда

На рис. XV.8, 6 показан структурный элемент, соответствующий полученной передаточной функции (XV. 18).

Рис. XV.8. Структурные элементы импульсных систем регулирования: а — преобразователь «аналог—код»; б - ЦВМ, реализующая операцию дифференцирования; в — преобразователь «код-аналог»

Рис. XV.9. Упрощенная принципиальная схема преобразователя «код—аналоги

Рис. XV. 10. Формы сигналов преобразователя «код-аналог», изображенного на рис. XV.9: а - на входе; б — на выходе

Для определения передаточной функции преобразователя «код—аналог» воспользуемся упрощенной принципиальной схемой, изображенной на рис. XV.9. В преобразователь входят импульсное устройство, два резистора конденсатор С и операционный усилитель [59]. В момент замыкания ключа конденсатор С быстро заряжается и «запоминает» поступающее на него напряжение, которое с течением времени уменьшается по некоторой экспоненциальной кривой. Формы входного и выходного сигналов преобразователя показаны на рис. XV. Пользуясь этими рисунками, запишем входные напряжения в тактовые моменты

где — постоянные коэффициенты.

Применим к уравнениям (XV. 19) преобразование Лапласа; тогда

откуда входной сигнал

Выходные напряжения в межтактовые моменты времени запишем в виде

Применим и к уравнениям (XV.22) преобразования Лапласа; тогда

Выходное напряжение также можно представить в виде следующей суммы сигналов:

Из выражений (XV.24) и (XV.21) найдем передаточную функцию преобразователя «код—аналог» в виде

откуда

Если принять, что постоянная времени велика, то и

Преобразователь «аналог—код», имеющий передаточную функцию (XV.27), называется преобразователем нулевого порядка. Такой преобразователь сглаживает выходной сигнал, запоминая величину входного импульса на период квантования. На рис. XV.8, в показана схема преобразователя реализующая передаточную функцию нулевого порядка.

Выведем еще раз передаточную функцию (XV.27) для преобразователя нулевого порядка. Представим прямоугольный импульс в виде суммы двух ступенчатых функций (рис. XV.11, а и б):

где

Рис. XV.11. Виды сигналов на выходе преобразователя нулевого и первого порядков при подаче на их вход единичного импульса и

Вхрдной сигнал запишем в виде

Применив к уравнениям (XV.28) и (XV.29) преобразование Лапласа, найдем передаточную функцию преобразователя «код—аналог» в виде

Полученное выражение полностью тождественно формуле (XV.27). Если сглаживание выходного сигнала выполнять с помощью трапеций, то преобразователь «код—аналог» принято именовать преобразователем первого порядка (рис. XV. 11, а и е). В этом случае выходной сигнал

а входной

Применим к уравнению (XV.30) преобразование Лапласа; тогда

откуда

и при получим

Пользуясь передаточными функциями (XV. 17), (XV.18) и (XV.27), можно составить структурную схему системы автоматического регулирования с ЦВМ, блок-схема которой показана на рис. XV.4. Структурная схема для данной системы приведена на рис. XV. 12. В этом случае в передаточную функцию ЦВМ введем множитель приводящий к реальному масштабу времени.

ЦВМ в системах автоматического регулирования работает всегда в реальном времени, т. е. в том времени, в котором находятся измерительные средства и объект регулирования. Для выполнения математических операций ЦВМ затрачивает время, равное Т, и после этого сигнал с выхода ЦВМ поступает через преобразователь «код—аналог» на объект регулирования. Например, для получения операции дифференцирования [см. формулу (XV.14)] необходимо брать разность будущего и текущего значений .

Рис. XV. 12. Структурная схема системы автоматического регулирования с ЦВМ, блок-схема которой изображена на рис. XV.4

Получение будущего значения вызывает сдвиг во времени Т на выходном регистре. Таким образом, реализация программы дифференцирования в реальном масштабе времени должна выполняться по формуле

откуда