Глава XVIII. СИНТЕЗ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
I. Постановка задачи синтеза на основе критерия минимума интегральной ошибки. 2. Синтез систем регулирования при наличии полезного сигнала и помехи. 3. Формулы для определения передаточной функции желаемой системы 
. 4. Пример синтеза корректирующих устройств системы регулирования при действии полезного сигнала и помехи.
В гл. XVII рассматривались задачи синтеза систем автоматического регулирования при действии полезных входных сигналов. Однако существует большое число систем регулирования, на которые наряду с полезным сигналом, заданным по времени, действует сигнал помехи. Этот сигнал является случайным, и его характеристики задают статистически (см. гл. XIII). Задача синтеза таких систем заключается в выборе желаемой амплитудной характеристики системы и корректирующих устройств, при которых полезный сигнал воспроизводится с заданной точностью, а сигнал помехи подавляется наилучшим (оптимальным) способом.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА НА ОСНОВЕ КРИТЕРИЯ МИНИМУМА ИНТЕГРАЛЬНОЙ ОШИБКИ
Постановка задачи синтеза систем автоматического регулирования может быть сформулирована в следующем виде. Необходимо определить импульсную переходную функцию системы, обеспечивающую минимальную среднюю квадратическую ошибку от действия сигнала помех, при заданных коэффициентах ошибки 
(т. е. точности воспроизведения полезного сигнала) и заданном времени протекания переходного процесса 
Впервые эта задача была решена В. В. Солодовниковым и П. С. Матвеевым [68, 721.
Рассмотрим систему, показанную на рис. XVIII. 1. Для нее нетрудно найти сигнал на выходе
Ошибка системы состоит из регулярной (динамической)
и случайной
составляющих.
Рис. XVIII.1. Структурная схема системы автоматического регулирования, на вход которой поступают полезный сигнал 
и сигнал помехи 
Разложим функцию 
в ряд, тогда получим
Подставив выражение (XVIII.4) в формулу (XVIII.2), найдем
В соответствии с разложением в ряд (XIII. 10) запишем
Сравнив правые части выражений (XVIII.5) и (XVIII.6), получим
Значение квадрата ошибки от действия помехи представим в виде
Введем дополнительную переменную Я; тогда можно выражение (XVIII.8) переписать в виде
В работе [551 показано, что корреляционная функция помехи
и
После замены переменных 
на 0 имеем
В последнем выражении перейдем от 0 к 
тогда
Имея это в виду, Выражение (XVIII.9) перепишем в виде
или
Зная и динамическую ошибку 
зависящую от 
можно сформулировать следующую задачу. Необходимо найти импульсную переходную функцию 
обращающую в минимум 
но одновременно удовлетворяющую заданным условиям (XVIII.7).
Минимум выражения (XVIII. 13) определяется с помощью вариационного исчисления [68]. Для этого следует найти минимум выражения
где 
— моменты импульсной переходной функции, связанные с коэффициентами ошибок 
— неопределенные множители Лагранжа.
Подставим в выражение (XVIII.14) формулу (XVIII.13) и, учитывая, что моменты 
определяются в виде
получим
здесь 
придана вариация 
Параметр А, естественно, не зависит от 
и является произвольным числом. Необходимым условием экстремума функционала (XVIII.14) является
С учетом этого условия из уравнения (XVII 1.16) получим
Уравнение (XVIII.17) перепишем в виде
или
Последнее уравнение справедливо лишь при 0 с 
Решение 
интегрального уравнения (XVIII. 19) обеспечивает минимальное значение ошибки 
