6. СИНТЕЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Используя результаты предыдущего параграфа, рассмотрим методы синтеза оптимальных по квадратичному критерию непрерывных систем управления, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями вида

где — -мерный и -мерный векторы состояния и управления, а А и В — матрицы размерности .

Поставим задачу оптимального синтеза следующим образом. Для системы, описываемой уравнением (XX.68) с начальным состоянием требуется определить управление в форме обратной связи, т. е. найти функцию , относительно которой функционал качества

принимает минимальное значение. Будем считать, что входящие в функционал (XX.69) матрицы и D — положительно определенные матрицы размерности — положительно полуопределенная матрица размерности

Для приближенного решения этой задачи разобьем отрезок 0 с на частей точками , взяв эти точки в качестве узловых, заменим интеграл (XX.69) суммой, а уравнение (XX.68) — разностными уравнениями по схеме Эйлера (см. гл. XV). В результате придем к следующей дискретной задаче оптимального управления. Требуется минимизировать функционал

при условии, что

где — шаг квантования по времени, равный

Заметим, что выражения (XX.70), (XX.71) эквивалентны (XX.68), (XX.69), в том смысле, что при а состояние и управление стремятся соответственно к , где произвольный момент времени на интервале . Следовательно, искомое управление может быть найдено как решение задачи с помощью выражений (XX.70), (XX.71), в которой шаг квантования по времени Рассматриваемая задача, записанная в форме (XX.70), (XX.71), совпадает с задачей оптимизации, рассмотренной в предыдущем параграфе. Поэтому из формул (XX.65) и (ХХ.66) следует, что оптимальное относительно дискретных моментов времени управление имеет вид

где

а матрица удовлетворяет рекуррентному соотношению

с начальным значением матрицы равным

Рис. XX. 13. Структурная схема оптимальной системы с законом управления (XX.76)

Если учесть, что

а матрица есть не иное, как матрица то соотношение (XX.73) можно переписать в виде

Устремим теперь в выражениях (XX.72), (XX.74) Поскольку при

Тогда, из выражений (XX.72) и (XX.74) следует, что оптимальное управление, решающее задачу синтеза (XX.68), (XX.69), имеет вид

где симметричная положительно определенная матрица является решением дифференциально-матричного уравнения

удовлетворяющим граничному условию

Матричное уравнение типа (XX.77) в теории управления носит название уравнения Риккати.

На рис. XX. 13 показана структура оптимальной системы с законом управления (XX.76). В соответствии с этим законом для организации управления системой (XX.68) необходимо в каждый момент времени измерить параметры состояния и вычислить матрицу а затем с помощью линейного преобразования получить само управление

Остановимся теперь на вопросах вычисления матрицы Поскольку дифференциальное уравнение Риккати нелинейно, то найти его решение в замкнутой форме, как правило, не удается. Поэтому для вычисления матрицы необходимо использовать цифровые вычислительные машины. Данная процедура вычисления может быть построена различным образом, но чаще всего она основана на методах численного интегрирования дифференциального уравнения Риккати в прямом времени, при котором процесс интегрирования этого уравнения выполняется не относительно конечного условия а относительно начального значения матрицы

В заключение главы рассмотрим задачу оптимизации, для которой функционал качества записывается в виде

где и — положительно определенные матрицы соответственно размерности .

Отсутствие здесь конечных условий типа объясняется тем, что данная задача имеет практический смысл только в том случае, когда т. е. когда синтезируемая система асимптотически устойчива. Таким образом, задачу оптимального синтеза можно сформулировать следующим образом. Требуется определить управление как функцию состояния системы (XX.68), относительно которого эта система асимптотически устойчива, а функционал качества (XX.78) принимает минимальное значение.

Данную задачу можно рассматривать как частный случай задачи синтеза (XX.68), (XX.69), в которой необходимо положить . Очевидно, что данная задача также эквивалентна задаче оптимизации дискретной системы, записанной в форме (XX.70), (XX.71), когда . Калманом было показано, что в этом случае матрица обратной связи стационарна на всех интервалах управления, т. е.

Поэтому в силу соотношения (XX.75) производная и закон управления (XX.76) принимают вид

где симметричная и положительно определенная матрица является решением матричного уравнения

Покажем, что система (XX.68) с законом управления (XX.79) асимптотически устойчива. Для доказательства этого факта воспользуемся прямым методом Ляпунова (см. гл. XI и гл, XIV).

Выберем функцию Ляпунова в виде

Производная этой функции по времени

Подставляя сюда значения вектора фазовой скорости системы (XX.68), найдем, что

Учитывая выражения (XX.79) и (ХХ.80), из уравнения (XX.81) получим

где производная функция Ляпунова всюду отрицательна, за исключением точки фазового пространства, в которой Так как, с другой стороны, матрица положительно определена, то функция Ляпунова положительна, а исходная система асимптотически устойчива.

Таким образом, для асимптотической устойчивости системы, синтезируемой по минимуму функционала (XX.78), необходимо и достаточно, чтобы матрица являющаяся решением матричного уравнения Риккати, была положительно определенной матрицей.