5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА

Интегральные оценки качества являются интегралами в пределах от 0 до от функции Они характеризуют протекание лереходных процессов. При проектировании систем автоматического регулирования наиболее часто пользуются следующими интегральными оценками качества:

где — постоянные величины, имеющие размерность времени.

Перейдем к конкретному определению интегральных оценок. Для этого воспользуемся формулами, связывающими оценку с коэффициентами передаточной функции . Красовским [11] были вычислены интегральные оценки для

когда корни характеристического уравнения замкнутой системы имеют отрицательные действительные части и

где

здесь — определитель, который получается из заменой столбца столбцом вида .

Определитель обращается в нуль на соответствующем участке границы области устойчивости. В случае выражение (X 11.51) принимает вид

тогда и формулу (XI 1.52) можно записать так:

Выражение (XII.56) можно переписать в более простой форме, приняв

где

— минор элемента верхней строки определителя. Итак,

а это выражений можно представить в виде

где «определитель получается из заменой верхней строки строкой

Формула (XII.56) выведена также для случая

Оценка служит относительной мерой быстродействия системы автоматического регулирования. Если при двух значениях будет найдено меньшее значение, то оно означает, что в системе будет протекать более быстродействующий процесс. Поэтому оценкой принято пользоваться следующим образом. По формуле (XI 1.52) находят в зависимости от параметров. Далее определяют

где — коэффициент уравнения (или параметр системы регулирования). В тех случаях, когда минимальное значение интегральной оценки соответствует наилучшему приближению функции к единичной ступенчатой функции 11].

Пример XII.4. Для системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию

иайти значения коэффициентов при которых 70 имеет минимальное значение:

Используя формулу (X 11.52), получим

В соответствии с условием (XII.60) найдем уравнения для определения

Полученные выражения приведем к более простому виду:

откуда легко определить

В ряде случаев система, удовлетворяющая условию минимума имеет значительную колебательность переходного процесса. Для уменьшения колебательности при исследовании качества систем следует пользоваться интегральными оценками (XII.49)-(XII.50). Сначала рассмотрим оценку (XI 1.49). В этом случае

Из формулы (XII.61) видно, что интегральная оценка будет минимальной, если подынтегральное выражение равно нулю, т. е.

Полученное уравнение имеет решение

откуда следует, что минимальное значение зависит от коэффициентов уравнения и является своего рода критерием наилучшего приближения исследуемого процесса к экспоненте с постоянной времени т. Аналогичным образом оценка (XII.50) является критерием приближения кривой к решению уравнения порядка. Оценку (XII.50) можно записатц в виде

Интегрируем по частям последнее выражение и, учитывая, что

получим

По аналогии с предыдущим найдем, что минимум достигается, когда будет решением уравнения

при начальных условиях (XII.63).

Величины определяют из условий (XII.64). Таким образом, интегральная оценка приводится к виду

где

Для определения находят изображения а затем пользуются формулой (XI 1.52).

Пример XII.5. Требуется определить коэффициент затухания в колебательном звене, когда и

при условии, что принимает минимальное значение.

Выходная величина

В соответствии с этим

Преобразование Лапласа для функции будет

Имея это в виду, по формулам найдем

Минимизируя по параметру , получим

или