6. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим различные методы анализа устойчивости линейных импульсных систем автоматического регулирования. Как известно из гл. XII, устойчивость линейной системы определяется с помощью расположения корней характеристического уравнения на плоскости Характеристическое уравнение импульсной системы запишем в виде

или

Условие устойчивости заключается в том, что все корни уравнений (XV. 123) и (XV. 124) должны находиться в левой полуплоскости. Данное

Рис. XV.19. Расположение корней импульсной системы на плоскости

условие для непрерывных систем отличается от импульсных тем, что на плоскости вместо одного корня характеристическое уравнение первого порядка имеет к корней (здесь На рис. XV. 19 показано, что вместо корня расположенного на действительной оси, в импульсной системе будет бесконечное число корней, отстоящих один от другого на расстояниях, кратных При увеличении порядка характеристического уравнения число каждого из корней увеличивается бесконечно.

Всю плоскость комплексного переменного можно разделить горизонтальными полосами, как это показано на рис. XV. 19. Ширина полосы равна частоте Полоса, в которой заключена действительная ось, называется основной. На рис. XV. 19 основная полоса в левой полуплоскости выделена штриховкой; остальные полосы именуются дополнительными.

Частотные критерии устойчивости Михайлова—Найквиста для импульсных систем на плоскости Если для устойчивости импульсной системы необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения на плоскости были расположены в ее левой полуплоскости (в основной и дополнительных полосах), то на плоскости годограф (или амплитуднофазовая характеристика) не должен охватывать точки с координатами . В отличие от непрерывных систем, при слабой фильтрующей непрерывной части получается несколько годографов, образующих результирующий годограф по формуле (XV.54).

На рис. XV.16 построены годографы —

Как видно из рисунка, устойчивость импульсной системы (по сравнению с непрерывной) ухудшается, так как дополнительный годограф смещает результирующий годограф влево, т. е. к точке

При хорошей фильтрующей непрерывной части можно пользоваться корнями, расположенными лишь в основной полосе, что при отображении на плоскость даст один эквивалентный годограф (так называемая эквивалентная амплитудно-фазовая частотная характеристика).

Сформулируем определения частотных критериев устойчивости Михайлова—Найквиста:

1. Импульсная система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом, если ее амплитудно-фазовая характеристика при изменении от 0 до не будет охватывать точки с координатами

2. Импульсная система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если ее амплитудно-фазовая характеристика при изменении со от до будет охватывать точку с координатами столько раз в положительном направлении, сколько полюсов функции расположено в правой полуплоскости.

Как видно, первая и вторая формулировки частотного критерия устойчивости импульсных систем ничем не отличаются от соответствующих формулировок для непрерывных систем (см. гл. XI). Для того чтобы избавиться от бесконечного числа корней на плоскости при использовании характеристического уравнения импульсной системы или ряда годографов при применении передаточной функции следует перейти от плоскостей и к плоскостям и