Критерий устойчивости для импульсных систем на плоскостях z и W(z).

Изменение независимой переменной путем замены ее новой преобразует одну область комплексного переменного в другую. Поэтому с помощью подстановки можно преобразовать мнимую ось плоскости в единичную окружность плоскости Для доказательства этого подставим тогда

но при имеем

Амплитуда этой функции

а фаза

На плоскости (рис. XV.20, а) показана граница устойчивости в виде мнимой оси, на которую нанесены соответствующие значения частот от до Определим границу устойчивости на плоскости представляющую собой отображение мнимой оси на плоскость комплексного переменного Для этого по формуле (XV. 127) определим значения при изменении со от 0 до при

В соответствии с этим на рис. XV.20, б построена окружность единичного радиуса. Иначе говоря, с помощью подстановки отрезок мнимой оси плоскости от до отобразится окружностью радиусом на плоскости Левая полуплоскость (рис. XV.20, а) будет представлять собой плоскость круга (заштрихована на рис. XV.20, б). Для

Рис. XV.20. Отображение отрезка мнимой оси от до плоскости на плоскость

Таблица XV.2. Условия устойчивости в зависимости от расположения корней на плоскостях

доказательства этого, заметим, что в любой точке плоскости имеет место следующее соотношение:

тогда получим

С помощью выражения (XV. 129) можно найти условия устойчивости на плоскостях и в зависимости от расположения корней (табл. XV.2).

На основании данных табл. XV.2 можно установить, что импульсная система регулирования будет устойчива, когда все корни характеристического уравнения замкнутой системы находятся внутри окружности радиусом единица (например, корень на рис. XV.20, б). Импульсная система будет неустойчивой, когда хотя бы один корень характеристического уравнения замкнутой системы будет находиться вне окружности радиусом единица (например, корень

Рассмотрим критерий устойчивости Михайлова—Найквиста для импульсных систем регулирования, пользуясь передаточной функцией разомкнутой системы Пусть

где

Образуем вспомогательную функцию

где — характеристическое уравнение замкнутой системы; — характеристическое уравнение разомкнутой системы.

Если сравнить выражения (XI.81) с (XV.130) и учесть при этом условия табл. XV.2, то по аналогии с непрерывной системой можно сформулировать условия устойчивости Михайлова—Найквиста для импульсных систем на плоскости

1. Замкнутая импульсная система регулирования будет устойчива, если годограф разомкнутой системы при отсутствии полюсов вне окружности единичного радиуса и изменении от 1 до —1 (вдоль полуокружности на плоскости ) не охватывает точки с координатами (рис. XV.21, а и б). Заметим, что на рис. XV.21 крестиками обозначены полюсы, а кружочками — нули передаточных функций.

2. Замкнутая импульсная система регулирования будет устойчива, если годограф разомкнутой системы с полюсами вне окружности единичного радиуса при изменении от 1 до —1 (вдоль полуокружности на плоскости ) охватывает точку с координатами раз в положительном направлении.

На рис. XV.21, в показано расположение полюсов и нулей передаточной функции когда один полюс находится вне окружности радиусом единица. Соответствующий этому случаю годограф построен на рис. XV.21, г. Как видно, годограф охватывает точку полраза, что указывает на устойчивость системы в замкнутом состоянии.

Рис. XV.21. Расположение корней на плоскости и годографов на плоскости для импульсных систем регулирования

Рассмотрим передаточные функции для разомкнутых импульсных систем вида

В полученные выражения введем следующее обозначение:

Из выражения (XV. 134) следует, что точка на плоскости охватывается дугой а бесконечно малого радиуса (рис. XV.22, а). Подставив соотношение (XV. 134) в выражение (XV. 132), получим

тогда при отображении кривой а на плоскости имеем дугу Г бесконечного радиуса изменяющуюся от 0 до (см. гл. XI). Данное построение выполнено на рис. XV.22, б. Кривая при изменении 2 от 1 до —1 трансформируется в кривую (рис. XV.22, а и б). Годограф не охватывает точку а передаточная функция (2) не имеет полюсов вне окружности единичного радиуса, что указывает на устойчивость импульсной системы в замкнутом состоянии.

На рис. XV.22, г показано построение годографа — при наличии двух полюсов в точке (рис. XV.22, в). Годограф не охватывает точки и при отсутствии полюсов вне единичной окружности у передаточной функции [выражение (XV.133)] имеем устойчивую импульсную систему в замкнутом состоянии.

Пример XV. 11. Построить годограф на плоскости «ели импульсная система имеет передаточную функцию

где

Рис. XV.22. Расположение корней на плоскости и годографа плоскости для импульсных систем регулирования

Рис. XV. 23. Расположение нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой системы на плоскости и годографа на плоскость (для примера

-преобразование для функции запишем в виде

Из выражения (XV. 137) для передаточной функции видно, что полюсов вне единичной окружности нет (рис. XV.23, а). Годограф не охватывает точку (рис. XV.23, б). Поэтому рассматриваемая импульсная система является устойчивой в замкнутом состоянии.