9. РАСЧЕТ ОШИБОК В СИСТЕМЕ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ШУМОВ

Рассмотрим структурную схему системы с обратной связью, типичную для систем автоматического регулирования (рис XIII.21). Кроме полезного сигнала на систему действует также шум возникающий в аппаратуре при измерении полезного сигнала.

При учете полезного сигнала и шума для ошибки справедливо следующее операторное выражение:

Будем считать шум стационарным случайным процессом с известной спектральной плотностью мощности и средним значением

Полезный сигнал обычно содержит регулярную составляющую а также случайную стационарную составляющую, для которой будем считать известной спектральную плотность

Среднее значение ошибки

Предполагая сигнал и шум взаимно независимыми, а следовательно, и

Рис. XIII.21. Структурная схема системы с обратной связью при наличии внешних и внутренних шумов: 1 — источник сигнала и внешнего шума ; 2 — система с обратной связью и внутренними шумами

некоррелированными, для спектральной плотности ошибки на основании (XIII.194) можем записать

В качестве меры точности системы регулирования при учете случайных шумов и помех удобно выбрать среднее значение квадрата ошибки

где дисперсия ошибки

Вычисляя эти интегралы аналитически или численно, находим дисперсию, а затем и средний квадрат ошибки.

При аналитическом расчете спектральные плотности необходимо представить в виде дробно-рациональных функций частоты, а затем использовать таблицы интегралов

приведенные в прил. V. Здесь знаменатель является произведением сопряженных полиномов степени

а числитель — полином степени не выше

Пример XIII.11. Определить среднее квадратическое значение ошибки в следящей системе, если ее передаточная функция

сигнал управления отсутствует собственный шум сравнивающего и усилительного устройств, приведенный ко входу, имеет равномерную спектральную плотность в полосе существенных частот системы:

Прежде всего найдем передаточную функцию замкнутой системы

Средний квадрат ошибки определяется интегралом

По данным прил. V найдем

Рис. XIII.22. Структурная схема следящей системы радиолокационной станции

Подставляя сюда значения коэффициентов из предыдущего выражения: получим

Аналитический путь определения среднего квадрата ошибки пригоден только для относительно простых задач, когда передаточная функция системы вместе с корректирующим устройством не выше пятого — шестого порядка.

В более сложных случаях удобнее применить графоаналитический способ расчета.

Его преимуществом является использование результатов графоаналитических построений, проводимых при анализе устойчивости и качества системы методом логарифмических характеристик. Напомним, что обе последних задачи должны быть решены, прежде чем будет проведен анализ влияния помех и шумов. Рассмотрим применение метода на конкретном примере.

Пример XIII.12. Структурная схема следящей системы радиолокационной станции приведена на рис. XIII.22.

Определить ошибку следящей системы в режиме контроля возникающую из-за помех (внешнего и внутреннего характера), с постоянной спектральной плотностью

В данном случае ошибка

На основании структурной схемы следящей системы находим разомкнутую передаточную функцию

где

Примем следующие значения для параметров следящей системы радиолокационной станции:

На рис. XIII.23 построены логарифмические частотные характеристики по функциям Сложив их, получим результирующие характеристики: амплитудную и фазовую . Из рис. XIII.23 видно, что замкнутая система будет устойчива при выбранных значениях параметров. Для определения амплитудной характеристики замкнутой системы воспользуемся номограммой (рис. XIII.24). Нанесем на нее логарифмическую амплитуднофазовую характеристику в точках пересечения этой характеристики со сплошными линиями номограммы получим значения амплитудной характеристики замкнутой системы

Рис. XIII.23. Логарифмические амплитудные и фазоше частотные характеристика радиолокационной станции

Фазовую характеристику строить нет необходимости. Перенесем значения на рис. XIII.25 (кривая 1), возведем их в квадрат и умножим числовые значения по оси ординат на получим, что кривой 2 соответствует выражение

(кривая 2). Для применения формулы (XIII.204) построим зеркальное отображение относительно оси ординат кривой 2.

Рис. XIII.24. (см. скан) Номограмма замыкания

Рис. XIII.25. Характеристика к примеру XIII. 12

Вычислим площадь под кривой 2 (см. рис. XIII. 25). Разделив полученноезначение на определим

Извлекая квадратный корень, находим среднее квадратическое значение ошибки:

При числовых расчетах целесообразно вычислять интеграл (XIII.205) с помощью формул прил. V.