3. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ

Рассмотрим линеаризацию дифференциальных уравнений для стационарных и нестационарных объектов регулирования, записанных в виде (III.6) и (III.7).

Будем считать, что в уравнении (III.6) функция непрерывно дифференцируема по каждой из переменных х и у. При нулевых или постоянных векторах уравнение равновесия будет

Воспользуемся приращениями переменных тогда получим

Поставив выражения (111.11) в (III.6) и, вычитая соотношение найдем следующее уравнение:

Так как функция непрерывно дифференцируема, то уравнение (111.12) можем записать в виде

где

матрицы Якоби. Здесь через обозначен остаточный член. Будем считать, что

Тогда в малой окрестности динамика объекта управления описывается следующим линеаризованным уравнением:

Полученное уравнение является линейным относительно положения равновесия.

Данный метод линеаризации можно распространить и на нестационарные объекты, описыбаемые уравнениями (III.7). В этом случае линеаризацию следует выполнять относительно частного решения уравнения.

Пусть частное решение уравнения (III.7) будет

Тогда соотношения (III.11) следует переписать в виде

После дифференцирования функции уравнение (II 1.7) с учетом соотношений (III. 17) будет

Опорное решение запишем в виде

Вычитая его из уравнения (III. 18), найдем

где также представляют матрицы Якоби.

Эти матрицы, вычисленные относительно второго решения, не зависят непосредственно от х и у, а являются функциями времени Поэтому их можно записать в виде

Кроме того, допустим, что

выполняется для всех . В этом случае уравнение динамики нестационарного объекта описывается в малой окрестности решения и малых в виде линеаризованного уравнения

Итак, полученное уравнение является линейным относительно опорного решения (III.16).

Рассмотрим несколько способов составления дифференциальных уравнений и методов их линеаризации для некоторых конкретных объектов регулирования.