7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ И МНИМЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ ПО АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫМ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ РАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМ

Для определения вещественных и мнимых частотных характеристик замкнутых систем по амплитудно-фазовым характеристикам воспользуемся частотной характеристикой

Частотную характеристику разомкнутой системы представим в виде

тогда получим

откуда после несложных преобразований найдем 1

После этого на плоскости по формуле (XII. 115) определим геометрическое место точек, соответствующих заданному, значению

Итак,

После ряда преобразований выражение (XII.116) можно привести к виду

Из выражения (XII. 117) видно, что это уравнение окружности с центром, расположенным на вещественной оси и удаленным от начала координат на расстояние

радиусом

Рис. XII.7. (см. скан) Вещественная круговая номограмма В. В. Солодовникова

По этим соотношениям на рис. XII.7 было построено семейство окружностей (вещественная круговая номограмма В. В. Солодовникова).

Для построения мнимой круговой номограммы положим

После ряда преобразований выражения (XII. 120) получим

Выражение (XII. 121) представляет собой уравнение окружности, центр которой расположен на расстоянии

от прямой на плоскости и имеет радиус

По формулам (XII. 122) и (XII. 123) на рис. XI 1.8 построено семейство окружностей (или мнимая круговая номограмма В. В. Солодовникова). Пример XII.6. По частотной характеристике разомкнутой системы

с помощью номограмм на рис. XI 1.7 и XII.8 определим вещественную и мнимую частотные характеристики замкнутой системы.

По выражению (XII. 124) найдем

(кликните для просмотра скана)

Рис. XII.11. (см. скан) Номограмма для определения вещественных частотных характеристик

Задаваясь различными значениями , построим амплитудно-фазовую частотную характеристику (рис. XII.9). Нанеся эту характеристику на круговую номограмму (см. рис. XII.7), получим в точках пересечения с кругами соответствующее значение По полученным значениям на рис. а построена вещественная частотная характеристика Нанесем характеристику на номограмму тогда в точках пересечения с кругами получим значения По этим значениям на рис. XII.10, б построена мнимая частотная характеристика

В. тех случаях, когда при расчетах пользуются логарифмическими амплитудной и фазовой частотными характеристиками, номограммы можно получить следующим образом. В выражение (XII.112) подставим

тогда получим

откуда

Построим снова геометрическое место точек:

Соответствующие построения выполнены на рис. XI 1.11 [номограмма ] и на рис. XII.12 [номограмма ].

Рис. XII.12. (см. скан) Номограмма для определения мнимых частотных характеристик

Пример XII.7. Для следящей системы, имеющей результирующую логарифмическую амплитудную и логарифмическую фазовую характеристики, показанные на рис. XI.30, определить Перенесем значения амплитуд и фаз характеристики снятой с рис. XI.30, на номограмму рис. XII.11. В точках пересечения с кривыми номограммы определим значение По найденным значениям на рис. XII. 13, «построена вещественная частотная характеристика замкнутой следящей системы. Перенесем значения амплитуд и фаз на номограмму рис: XII.12; тогда в точках пересечения кривой получим значения по которым на рис. XII.14 построена мнимая частотная характеристика замкнутой системы

Рис. XII.13. Вещественная частотная характеристика следящей системы: а — исходная характеристика ; б - ее разбиение трапецеидальные частотные характеристики

Рис. XII.14. Минимая частотная характеристика следящей системы

В заключение определим по формуле (XI 1.126) значение соответствующее частоте среза системы . Как известно, на частоте среза системы или Подставив это значение в формулу (XI 1.126), получим

откуда

Из выражения (XII. 131) видно, что для определения частоты среза по вещественной частотной характеристике замкнутой системы необходимо провести прямую, параллельную оси абсцисс, по уровню 1/2 до пересечения с кривой Опустив из этой точки перпендикуляр на ось абсцисс, получим искомую частоту среза системы