Критерий устойчивости Шур—Кона.

Алгебраический критерий устойчивости Шур—Кона позволяет анализировать устойчивость импульсных систем регулирования по характеристическому уравнению замкнутой системы, записанному в форме z-преобразования. Для. характеристического уравнения порядка

запишем коэффициенты в виде следующего определителя:

где — сопряженные значения коэффициентов.

Определитель имеет рядов и столбцов. Корни характеристического уравнения будут лежать внутри единичной окружности, если

коэффициенты уравнения удовлетворяют всем определителям Шур—Кона, имеющим

Пример XV. 12. Исследовать устойчивость импульсной системы, передаточная функция которой задана выражением (XV. 137), по критерию Шур—Кона. Найдем

Из выражения (XV. 141) определим, что характеристическое уравнение замкнутой системы

а его коэффициенты имеют следующие значения

Пользуясь выражением (XV. 139), найдем нечетные и четны определители Шур—Кона в виде

На основании полученных оценок определителей можно установить, что рассматриваемая импульсная система устойчива (сравните с примером XV.II).

Для характеристических уравнений второго порядка можно упростить критерий Шур—Кона. Воспользуемся для этого характеристическим уравнением вида

Пусть корни уравнения (XV. 142) будут тогда первым условием упрощенного критерия является

Если два корня лежат внутри единичной окружности, т. е.

то импульсная система, описываемая уравнением (XV. 142), является устойчивой. Однако при двух действительных корнях условие (XV. 143) не является достаточным, так как а один из корней или может находиться вне единичного круга. Для исключения этой неопределенности воспользуемся дополнительным условием:

Рис. XV.24. Структурная схема импульсной системы автоматического рггулироеания

Данное условие делает невозможным существование положительного действительного корня больше единицы- Введем еще одно дополнительное условие:

исключающее возможность существования отрицательного действительного корня, большего единицы. Таким образом, удовлетворение необходимым и достаточным условиям (XV. 143), (XV. 145) и (XV. 146) обеспечивает устойчивость импульсной системы второго порядка.

Пример XV. 13. Исследовать устойчивость импульсной системы регулирования (рис. XV.24) с помощью упрощенного критерия Шур—Кона. Пусть передатрчная функция разомкнутой системы имеет вид

где .

Для с найдем -преобразование выражения (XV. 147):

Определим характеристическое уравнение замкнутой системы

Необходимые и достаточные условия устойчивости импульсной системы

Для рассматриваемого случая имеем

откуда видно, что условия устойчивости а) и в) не удовлетворяются. Следовательно, импульсная система (рис. XV.24) является неустойчивой при всех Для проверки данного утверждения воспользуемся характеристическим уравнением (XV. 149). Корни этого уравнения

Второй корень при любых по модулю всегда больше единицы, поэтому импульсная система оказывается неустойчивой.

Пример XV.14. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний на плоскости для импульсной системы регулирования, если ее передаточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид

откуда найдем

где

Характеристическое уравнение системы палучим по выражению (XV.51) в виде

Так как порядок характеристического уравнения то по упрощенному методу Шур—Кока имеем следующие условия:

Так как условие б) выполняется при всех то перейдем к дополнительному рассмотрению условий а) и в), т. е.

или

и

Для определения границы областей устойчивости импульсной системы запишем неравенства (XV. 153) и (XV. 154) в виде

Пользуясь неравенствами (XV. 155), построим границы области устойчивости (рис. XV.25).

Для анализа устойчивости систем на плоскости можно пользоваться и методом корневого годографа, позволяющим по расположению нулей и полюсов разомкнутой системы быстро устанавливать геометрическое место точек корней характеристического уравнения замкнутой системы (см. гл. XII),

Пример XV.15. По передаточной функции разомкнутой системы — примера XV. 13 построить корневой годограф замкнутой импульсной системы на плоскости На рис. XV.26 показано расположение полюсов

Рис. XV.25. Границы области устойчивости импульсной системы автоматического регудирования по параметрам — и

Рис. XV. 26. Корневой годограф замкнутой импульсной системы, рассмотренной в примере XV.13

и нулей разомкнутой системы. Пользуясь правилом построения корневого годографа (а ему принадлежат в данном случае лишь точки действительной оси), получим прямые, показанные на рис. XV.26 жирными линиями. Стрелками на этом рисунке показано направление движения корня. Из рисунка следует, что при всех рассматриваемая импульсная система неустойчива.