3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ

Расчет динамических характеристик экстремальных регуляторов заключается в определении частоты и амплитуды автоколебаний, а также величины зоны поиска. При расчете экстремальных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, можно использовать метод фазовой плоскости (см. п. 2 гл. XIV). При повышении порядка дифференциального уравнения, описывающего линейную часть системы, применяют метод гармонической линеаризации, основанной на использовании способа шаблона (см. пп. 3 и 5 гл. XIV). Рассмотрим применение этих методов на конкретных примерах экстремальных систем автоматического регулирования.

Пример XVI.3. [52]. Определить частоту, амплитуду автоколебаний и величину зоны поиска экстремальной системы (рис. XVI.9) регулирования с запоминающим устройством, когда объект регулирования описывается уравнениями

а уравнение исполнительного устройства имеет вид

где — сигнал на выходе реле.

Рис. XVI.9. Структурная схема экстремальной системы регулирования с запоминающая устройством

Примем, что параметры системы имеют следующие величины:

при начальных значениях .

Будем также считать, что закон формирования управляющего сигнала на шаге представляется в виде

где С - половина зоны нечувствительности реле.

Для определения параметров предельного цикла воспользуемся методом фазовой плоскости, учитывая при этом, что включение исполнительного устройства происходит через некоторые интервал времени. В этом случае рассматриваемая система является импульсной, и движение изображающей точки необходимо строить на разностной фазовой плоскости Пользуясь -преобразованием (см. гл. XV), передаточную функцию

приставим в виде

Так как на управляющее устройство действует единичный сигнал, то

С помощью обратного -преобразования из выражения (XVI.47) найдем

По выражению (XVI.48) определим первую разность выходного сигнала:

Для нахождения уравнений фазовых траекторий необходимо из выражения (XVI.48) исключить параметр Составим следующее соотношение:

откуда

Подставим выражение (XVI.51) в формулу (XVI.48), приняв при этом, что

тогда

При начальных условиях имеем

Подставив соотношение (XVI.54) в выражение (XVI.53), получим

При принятых иами начальных условиях и числовых значениях параметров выражение (XV 1.55) запишется

Для нахождения уравнения линии переключения подставим в соотношение (XVI.45) следующие выражения:

Тогда

но

поэтому

Имея в виду выражение (XVI.59) и положив найдем

откуда

или

Задаваясь различными значениями по уравнению (XVI.62), найдем линии переключения (кривые 1 и 6 на рис. XVI. 10). Фазовые траекторий будем строить по участкам для с помощью уравнения

а для

На рис. XVI.10 построены фазовые траектории: кривая 2 по выражению (XVI.63) и кривая 3 по выражению (XVI.64). Построив участки фазового портрета 4 и 5, устанавливаем, что получается замкнутая кривая, характеризующая предельный цикл. Как видно из рис. XVI.10, предельный цикл устанавливается сразу же после выхода регулятора в зону экстремума.

Для нанесения отметок времени на фазовую траекторию определим величину разности выходного сигнала по выражению (XVI.49). Итак, при имеем

Рис. XVI.10. Фазовый портрет экстремальной системы регулирования с запоминающим устройством

Разобьем ось абсцисс на отрезки Приняв проведем перпендикулярную прямую до пересечения с фазовой траекторией (точка А на рис. XVI. 10). Эта точка соответствует первому шагу. На втором шаге имеем точку В и т. д. Пересечение фазовой траектории с линией переключения происходит в точке С на 26-м шаге:(шаг указывается цифрой вне замкнутого контура). Поэтому время выхода регулятора в экстремальную точку будет

Амплитуда автоколебаний А на входе определяется по рис. XVI. 10 как половинное четное число шагов на фазовой траектории. Принимаем число шагов равным 12; тогда амплитуда автоколебаний

Число шагов, затрачиваемых на предельный цикл, указано на рис. XVI. 10 цифрами внутри замкнутого контура. Как видно из этого рисунка, оно равио 26. Тогда период колебаний предельного цикла

или

При малой величине шага, примерно равной 0,1 рад, потери на поиск можно определять по формуле (XVI. 14), справедливой для безынерционной системы.

Итак,

Пример XVI.4. Определить амплитуду, частоту и значение потери на поиск в экстремальной системе автоматического регулирования, имеющей структурную схему, изображенную на рис. XVI.11. Из рисунка видно, что характеристическое уравнение, описывающее динамические процессы в экспериментальной системе, имеет третий порядок. Поэтому для определения амплитуды и частоты автоколебаний следует пользоваться методом гармонической линеаризации (логарифмическими эквивалентными частотными характеристиками, см. п. 5 гл. XIV).

Передаточную функцию линейной части системы запишем в виде

где Линейное звено и два нелинейных элемента системы, заключенные в прямоугольник, очерченный штриховой линией на рис. XVI.11, будем считать приведенным звеном с передаточной функцией

Рис. XVI.11. Структурная схема экстремальной системы регулирования

Линейное звено обеспечивает достаточно хорошую фильтрацию, поэтому эквивалентная амплитудно-частотная характеристика приведенного звена

где — зона нечувствительности реле, равная 0,5 рад.

Амплитуда на входе второго нелинейного элемента связана с амплитудой на входе первого нелинейного элемента следующей зависимостью:

где

В выражении (XVI.67) принято, что частота колебаний на входе объекта в 2 раза меньше частоты колебаний на выходе. Это соответствует нормальному режиму работы экстремального регулятора (см., напрнмер, рис. XVI.5), поэтому при определении коэффициентов гармонической линеаризации первой нелинейности следует пользоваться следующими формулами:

Для первой нелинейности можно записать

где

Подставляя выражения (XVI.70), (XVI.71) в формулы (XVI.68) и (XVI.69), получим

Рис. XVI.12. Виды входного и выходного сигналов для нелинейностей примеру XVI.4)

Приняв найдем

Второй нелинейный элемент состоит из последовательного соединения идеального релейного элемента с зоной нечувствительности и нелинейного логического элемента (см. п. 3 гл. 11).

На вход первого нелинейного элемента поступает синусоидальный сигнал х с частотой и амплитудой (рис. XVI.12, а), а на выходе образуется сигнал с удвоенной частотой, смещенный относительно принятой точки отсчета 0 на (рис. XVI. 12, б). Этот сигнал поступает на линейное звено с передаточной функцией Линейное звено вызывает фазовый сдвиг и изменяет амплитуду в При этом получается сигнал (рис. XVI.12, в).

Сигнал поступает на вход приведенного реле (см. гл. 11), характеристика которого изображена на рис. XVI.12, г. Сигнал на выходе реле (рис. XVI.12, д) смещается на угол а. Поэтому формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации приведенного реле относительно точки имеют следующий вид:

Из выражений (XVI.73) и (XVI.74) нетрудно получить

Таким образом, общий сдвиг фазы, вносимый нелинейным элементом и приведенный к частоте со, определится по формуле

где

Подставив соотношение (XVI.78) в формулу (XVI.77), получим

Условия гармонического баланса запишем в виде

Рис. XVI.13. (см. скан) Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики линейной части экстремальной системы с наложенным шаблоном

По этим формулам на рис. XVI.13 построены логарифмические амплитудная (кривая 1) и фазовая (кривая 2) характеристики линейной части системы. Шаблон с характеристиками построен на рис. XVI.14. Совмещаем ось шаблона с осью частот (рис. XVI.13). Перемещаем шаблон вдоль совмещенных осей до тех пор, пока точки В и D при не окажутся на одной вертикали, имеющей также Последнее и указывает на то, что частота является частотой автоколебаний. Из рис. XVI.13 найдем амплитуду автоколебаний рад.

Потери на поиск определяются по формуле

При такой величине потери на поиск рассматриваемая экстремальная система имеет невысокое качество. Для улучшения качества системы необходимо применять корректирующие устройства.

Рис. XVI.14. (см. скан) Шаблон для приведенной нелинейности