2. СПОСОБЫ ОРГАНИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ К ЭКСТРЕМУМУ

Организация движения к точке экстремума основана на использовании сигналов, зависящих от градиента функции, или сигналов отклонений от экстремума. Наиболее употребимыми являются методы Гаусса—Зейделя (или поочередного изменения параметров), градиента и наискорейшего спуска.

Метод Гаусса—Зейделя.

Сущность этого метода заключается в поочередном изменении координат и определении экстремумов вида

при Сперва изменяется координата в направлении уменьшения градиента до нулевого значения при постоянных значениях остальных координат. Затем изменяется координата в сторону уменьшения

После осуществления поиска по всем координатам (рабочий цикл) снова изменяются координаты до обращения в нуль затем по до полного завершения рабочего цикла. Итак, процесс рабочих циклов повторяется до тех пор, пока все не станут равными нулю. Процесс поиска по этому методу для функции от двух переменных показан на рис. XVI.7, а. Движение от точки А, параллельное оси происходит прямолинейно, пока не обратится в нуль (точка В на рис. XVI.7, а). Затем движение совершается по прямой, параллельной оси до точки С, где Далее попадаем в точку где снова до точки О, соответствующей экстремальному значению функции На рис. XVI.7, а видно, что при организации движения к экстремуму по методу Гаусса—Зейделя путь не является кратчайшим.

Метод градиентов (рис. XVI.7, б). Данный метод состоит в том, что движение к минимуму функции осуществляется в направлении, обратном мгновенному направлению вектора градиента функции

Пусть — первое приближение — значение градиента функции в этой точке. Проведем прямую

Рис. XV 1.7. Процессы при поиске экстремума тремя методами: а — Гаусса—Зейделя; б — градиента; в — наискорейшего спуска

где — вещественный параметр. Поскольку вдоль функция в окрестности возрастает, а в направлении убывает, то для малых имеем

Определяем следующий шаг в направлении уменьшения

для любого шага получим

Каждая координата на шаге вычисляется по формуле

Вычисления прекращаются, если для всех выполняется условие где мало.

В методе градиентов выбор шага связан условием

При этом условии шаг оказывается обычно очень малым. При большом числе итераций затрачивается много машинного времени, поэтому в таком виде метод градиентного спуска применяется редко. Значительно более экономичным оказывается метод спуска с переменным шагом (или метод наискорейшего спуска).

Метод наискорейшего спуска (рис. XVI.7, в). Этот метод является развитием метода градиентов.

Пусть теперь — произвольный параметр. Рассмотрим функцию

На каждой итерации величину шага будем определять из условия

Процесс вычислений, выполняемый по схеме

с шагом называют методом наискорейшего спуска, где для определения на каждой итерации нужно дополнительно решать задачу отыскания минимума функции одной переменной. Эту вспомогательную задачу можно решать по-разному. Обычно поступают следующим образом. Пусть — шаг на этапе; на шаге принимаем и проверяем условие (XVI.20). Если оно выполняется, то шаг увеличиваем до тех пор, пока при некотором не нарушится условие

После этого значение выбираем в качестве начального приближения шага в следующей итерации Если же при выполняется условие (XVI.20), то принимаем и снова проверяем условие (XVI.20), и т. д. до тех пор, пока оно не выполнится. Дальнейшее дробление шага выполняется по той же схеме, что и увеличение шага, т. е. с проверкой условия (XVI.21).

Такая процедура обеспечивает движение с максимально выгодным шагом. Преимуществом этого метода является быстрота прихода в точку экстремума, большие шаги движения на начальном этапе поиска (на отрезке Возможно сочетание рассмотренных трех методов поиска, например на начальном участке — метод наискорейшего спуска, а на участке подхода к точке экстремума — метод градиента.

Пример XVI. 1. Определить процесс выхода к экстремуму для экстремального регулятора по методу градиента, если объект регулирования описывается уравнениями вида

а исполнительные устройства уравнениями

Допустим, что параметры системы имеют следующие значения:

Примем, что зона нечувствительности нелинейного элемента ; начальные условия .

При поиске по методу градиента сигнал управления пропорционален проекциям градиента

Так как движение совершается в сторону убывания градиента, то, подставив эти значения в дифференциальные уравнения исполнительного устройства с обратным знаком, получим

откуда

Подставим эти соотношения в уравнения (XVI.22), получим

Решая уравнения (XVI.27), найдем

Для определения постоянной с воспользуемся следующими начальными условиями: . Т. е.

или

Очевидно, что в выражении (XVI.30)

Рис. XVI.8. Процессы выхода регулятора в экстремум при различных методах поиска: а — по методу градиента; б — по методу нанскорейшего спуска

Имея в виду выражение (XVI.31), решение (XVI.28) можно записать в виде

Подставив в выражение (XVI.32) значения параметров системы и начальные условия, получим

Подставляя в выражение (XVI.33) значения от 0 до 120 с, получим переходной процесс выхода регулятора в зону экстремума (рис. XVI.8, а). Для определения времени выхода Треж регулятора на оптимальный режим необходимо найти зону

Откладывая на рис. XVI.8, а рад, получим

Пример XVI.2. Для примера XVI.1 определить процесс выхода регулятора к экстремуму, если поиск осуществляется по методу наискорейшего спуска.

Как известно, при поиске по методу наискорейшего спуска перемещение по координатам осуществляется с постоянной скоростью, равной значению градиента в начальной точке,

Скорости отработки исполнительных устройств определяем по уравнениям (XVI.34) в виде

откуда

Имея в виду формулы (XVI.35) и (XVI.36), уравнения (XVI.22) запишем в виде

Полученное уравнение можно переписать как

где

Решая уравнение (XVI.38), получим

При имеем тогда

Подставив соотношение (XVI.40) в выражение (XVI.39), найдем

где определено выражением (XVI.31). Подставив в выражение (XVI.41) значение параметров системы и начальные условия, получим

Подставляя в выражение (XVI.42) значение от 0 до 20 с, определим переходный процесс выхода регулятора в зону экстремума (рис. XVI.8, б). Время выхода регулятора на оптимальный режим . Сравнивая полученное значение Треж с соответствующим значением из примера XVI. 1, видим, что метод наискорейшего спуска приводит к более быстрому выходу регулятора на оптимальный режим.