9. ТОЧНОСТЬ РАБОТЫ И БЫСТРОДЕЙСТВИЕ УПРАВЛЯЮЩИХ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН

Точность работы управляющих цифровых вычислительных машин определяется погрешностью, с которой воспроизводится управляющий сигнал

на основе измерения входных переменных . Принято выделять четыре основных вида ошибок, возникающих при формировании управляющего сигнала у:

1) методическая ошибка за счет применения приближенных вычислений при реализации принятых математических методов;

2) трансформированная ошибка, обусловленная конечной точностью входных переменных обусловленной погрешностями датчиков, и ограниченной разрядностью аналого-цифровых преобразователей

3) вычислительная ошибка из-за ограниченной разрядности машинных чисел и накапливания погрешностей за счет округления в арифметических операциях;

4) инструментальная ошибка из-за погрешностей отдельных блоков. Трансформированные и вычислительные ошибки носят случайный характер и могут быть описаны соответствующими законами распределения. На практике ограничиваются первыми моментами ошибок — математическим ожиданием и дисперсией. Предполагая, что трансформированная и инструментальная ошибки независимы, без учета методической ошибки можем записать выражения для математического ожидания и дисперсии ошибки:

где — ошибка в вычислении; — трансформированная ошибка; — вычислительная ошибка.

В том случае, когда погрешности введенных в УЦВМ переменных невелики, трансформированную ошибку можно представить в виде

где — погрешность входной машинной переменной

Отсюда можно получить формулы для математического ожидания и дисперсии трансформированной ошибки, полагая, что корреляция (см. п. 4 гл. XIII) между переменными отсутствует:

Погрешность машинной переменной складывается из случайной погрешности аналогового сигнала х, на выходе датчика и ошибки преобразования этого сигнала в цифровой код на -разрядном АЦП (ошибки квантования):

Погрешности датчика и преобразователя независимы.

Без потери общности можно считать, что аналоговый сигнал х, поступающий с датчика на вход АЦП, приведен к масштабу и заключен в следующих пределах:

В этом случае его можно записать в виде бесконечного двоичного кода

где — значение разряда (0 или 1). Для записи знака кода используется дополнительный разряд АЦП. При преобразовании с недостатком цифровой код на выходе АЦП имеет вид

а ошибка квантования

Полагая, что появление нуля или единицы в любом разряде кодя [формула (VI. 173)] равновероятно — получим формулу для математического ожидания ошибки (VI. 173) как суммы геометрической прогрессии

На практике для устранения систематической составляющей ошибки 1 квантования (VI. 173) в сигнал вводится постоянное смещение При этом математическое ожидание ошибки равно нулю, а ее дисперсия может быть определена с помощью выражения

Раскроем выражение (VI. 175), учитывая, что появления единиц в различных разрядах независимы, т. е. но

Погрешность датчика представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами . Предельная абсолютная погрешность датчика с вероятностью удовлетворяет неравенству

Разрядность аналого-цифрового преобразователя устанавливается такой, чтобы максимальная погрешность квантования была меньше погрешности датчика, т. е.

Отсюда

Учитывая, что — целое число, на практике применяют усиленное неравенство

Полагая разрядность АЦП минимальной, получим дисперсию ошибки квантования, используя формулу (VI. 176):

Дисперсия суммарной ошибки машинной переменной согласно формуле (VI. 179) при минимальном определяется выражением

Регулярная составляющая ошибки при наличии смещения отсутствует, т. е. Отсюда согласно формулам (VI. 170) следует, что математическое ожидание трансформированной ошибки также равно нулю, а ее дисперсия

С целью упрощения анализа вычислительной ошибки в дальнейшем не рассматриваются погрешности, возникающие при выравнивании масштабов машинных переменных в операциях алгебраического сложения. При этом практически вся вычислительная ошибка в УЦВМ с фиксированной запятой обусловлена округлением результатов в операциях умножения (операции деления в задачах регулирования весьма малочисленны и их вкладом в ошибку можно пренебречь).

Положим, что для вычисления управляющего сигнала при выполнении программы выполняется операций умножения. Учитывая, что

отдельные округления производятся независимо, для первых двух моментов вычислительной ошибки справедливы следующие формулы:

где — погрешность при однократном округлении.

При анализе этой погрешности разрядность процессора УЦВМ положим равной (без учета знаковых разрядов). Результат умножения двух чисел имеет мантиссу с числом разрядов При округлении результата в его разряд добавляется единица, после чего младшие разрядов сбрасываются. Следовательно, погрешность округления

Запишем выражение для математического ожидания ДОКр. вновь полагая равновероятными появления нулей и единиц в любом разряде машинного числа:

Регулярная составляющая вычислительной ошибки чрезвычайно мала. Полагая, что в формулах (VI. 183) все округления одного знака, получим

При разрядности процессора (минимум для современных УЦВМ) необходимо проделать более 130 тыс. операций умножения, чтобы возникла регулярная ошибка в младшем разряде. Ввиду этого можно считать, что

Е и ведем формулу для дисперсии погрешности округления

Учитывая малость второго члена в (VI.187) по сравнению с первым, можно считать

Используя формулы (VI. 187) и (VI. 188), определим дисперсию вычислительной ошибки:

С помощью выражений (VI. 182), (VI. 189) можно установить априорную величину погрешности вычисления управляющего сигнала при известных погрешности датчиков входных сигналов а разрядности процессора и ориентировочном числе умножений в программе УЦВМ для вычисления согласно (VI. 168):

Точность вычисления УЦВМ проверяется путем математического и полунатурного моделирования и окончательно уточняется в процессе испытаний.

Полученные расчетные соотношения применяют также на этапе проектирования УЦВМ для определения разрядности аналого-цифровых преобразователей и процессора. В том случае, когда число АЦП соответствует числу датчиков, их разрядность определяется погрешностью датчиков по формуле (VI.179). Если для преобразования аналоговых сигналов в УЦВМ используется один многоканальный АЦП, его разрядность устанавливается из условия

При определении разрядности процессора (т. е. разрядности АУ и ОЗУ) следует учитывать дополнительные разряды, необходимые для компенсации вычислительной ошибки:

Число дополнительных разрядов устанавливается таким, чтобы вычислительная ошибка была меньше погрешности машинных переменных, т. е.

Подставим формулы (VI. 191) и (VI. 189) в выражение (VI. 194), полагая разрядность процессора минимальной, т. е.

отсюда

Подставляя М из формулы (VI. 192), получим

или

Кроме разрядности процессора и преобразователей, на этапе проектирования УЦВМ и разработки ее математического обеспечения должны быть определены также такие важнейшие параметры, как требуемое быстродействие УЦВМ, объем ДЗУ и ОЗУ.

Быстродействие УЦВМ до составления рабочих программ оценивают с помощью таблиц частот выполнения отдельных групп машинных операций для алгоритмов определенного класса. Частота выполнения группы команд

где — общее число команд в рабочей программе; — число команд из группы .

При этом выполняется условие

где — число групп в системе команд УЦВМ (арифметические, управления, пересылки и т. д.).

Как правило, на основе исходных математических соотношений, описывающих алгоритм управления, удается определить число арифметических действий необходимых для его реализации. Отсюда нетрудно найти ориентировочное число команд в будущей программе:

Длительность выполнения рабочей программы устанавливается исходя из продолжительности такта квантования

Коэффициент вводится ввиду наличия вспомогательных программ (контрольных, тестовых и т. д.), выполняемых вместе с основной программой в течение такта квантования.

Величина быстродействия оценивается (в операциях в секунду) числом

Сделанная оценка позволяет выбрать состав и структуру процессора УЦВМ и его элементную базу. После составления и отладки рабочих программ быстродействие УЦВМ уточняется. Для этого система команд УЦВМ делится на группы команд по времени их выполнения, которое обычно приводится к длительности операции типа сложения

Общее время выполнения программы

Отсюда приведенное быстродействие вычисляется по формуле

После составления рабочих программ определяется также точный объем ДЗУ и ОЗУ. Число ячеек (слов) ДЗУ равно сумме числа команд в программе и числа констант:

Число ячеек ОЗУ определяется количеством исходных данных, промежуточных и окончательных результатов:

Единый объем ЗУ определяет длину адресной части команды

Отсюда устанавливается разрядность машинной команды (и, следовательно, ДЗУ):

где — индексная часть команды; КОП — код операции.

Длина индексной части определяется числом индексных регистров:

Число разрядов в коде операции определяется числом различных операций в системе команд УЦВМ:

В заключение приведем сравнительную оценку различных типов преобразующих устройств.