4. УСТОЙЧИВЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ (ДИЗЕЛЬ, ГИДРОТУРБИНА, САМОЛЕТ)

В качестве устойчивых статических объектов регулирования будем рассматривать дизель, гидротурбину и самолет. Уравнение динамики для дизеля будем составлять с помощью экспериментально снятых характеристик, для гидротурбины — аналитическим путем, а для самолета — аналитически с применением некоторых экспериментальных характеристик.

Дизель. В дизеле в зависимости от перемещения рейки топливного насоса (рис. II 1.3) происходит изменение движущего момента. На валу дизеля имеется момент сопротивления от нагрузки. Разность движущего момента и момента сопротивления расходуется только на ускорение (замедление)

Рис. 111.3. Схема дизеля

Рис. III.4. Экспериментальные характеристики дизеля: а — движущего момента при четырех различных положениях рейки топливного насоса; б — момента сопротивления

выходного вала дизеля. Приведенный к валу дизеля суммарный момент инерции всех масс можно считать постоянным. В этом случае уравнение вращающихся масс дизеля можно записать в виде

где — момент инерции всех вращающихся масс, приведенный к выходному валу дизеля; — угловая скорость вращения вала дизеля; — движущий момент на валу дизеля; — момент сопротивления на валу дизеля.

Экспериментальные характеристики движущего момента от угловой скорости вращения выходного вала со при различных положениях рейки I топливного насоса показаны на рис. II 1.4, а. Пользуясь этим рисунком, можно написать, что

Момент сопротивления изменяется в зависимости от угловой скорости вращения вала двигателя. Его характеристика показана на рис. III.4, б, т. е.

Из приведенных характеристик видно, что они не имеют разрывов и плавно изменяются, поэтому допустима их линеаризация. Для линеаризации этих зависимостей нанесем характеристику момента сопротивления на двигательные характеристики, как это показано на рис. III.5. В точке пересечения характеристик при некотором значении I получим новое начало координат Тогда новая ось абсцисс, пересекая старую ось ординат, отсечет на ней установившееся значение моментов; движущего и сопротивления

Новая ось ординат пересечет старую ось абсцисс и отсечет на ней установившееся значение угловой скорости вращения вала дизеля

Рассматривая малые отклонения переменных от принятых установившихся значений, запишем

Рис. III.5. Характеристики с наложенной на них характеристикой

Рис. III.6. Характеристики дизеля: а - при четырех значениях ; б - изменение угловой скорости вращения вала от времени относительно установившегося значения

Имея это в виду, разложим в ряд Тейлора правые части уравнений (III.25) и (III.26):

Для линеаризации нелинейных уравнений (II 1.25) и (III.26) воспользуемся лишь линейными членами в выражениях (III.28) и (III.29); тогда

где — тангенс наклона касательной к кривой построенной в зависимости от со, в точке установившегося режима дизеля (рис. III.5); — тангенс наклона касательной к кривой построенной в зависимости от I, в точке установившегося режима работы дизеля (точка на рис. III.6, a); — тангенс наклона касательной к кривой в точке установившегося режима дизеля (см. рис. II

В процессе регулирования характеристики используются при изменении нагрузки не на всем протяжении изменения со и а лишь в определенных пределах. Пределы изменения со выделены на рис. III.5 штрих-пунктирными линиями. Тогда можно считать, что в зависимости от времени угловая скорость вала изменяется относительно установившегося значения на малую величину (рис. III.6, б), и реальные нелинейные характера стики в определенных пределах изменения переменных можно заменить линейными. Такая замена нелинейной характеристики называется линеаризацией характеристик. Подставим выражения (III.30) и (III.31) в уравнение (II 1.24); тогда получим

Уравнение установившегося режима будет

Учитывая Соотношение (III.33), уравнение (III.32) можно записать в виде

Выражение (III.34) представляет собой линеаризованное уравнение динамики дизеля в приращениях. Все коэффициенты данного уравнения имеют размерность. В теории автоматического регулирования уравнения динамики принято записывать с безразмерными коэффициентами (за исключением йостоянных времени). Для этого уравнение (III.34) представим в форме

где — положение рейки топливного насоса, соответствующее . Преобразуем уравнение (III.35) к виду

Введем в уравнение (II 1.36) следующие обозначения:

Тогда получим окончательную форму уравнения динамики дизеля

где — постоянная времени дизеля в секундах; — передаточный коэффициент дизеля (безразмерная величина).

Проанализируем коэффициенты уравнения (111.37). Коэффициент всегда больше нуля (рис. III.6, а), Но может быть больше или меньше нуля в зависимости от соотношения наклонов характеристик.

При уравнение (III.32) приводится к виду

Если рассматриваемый режим работы дизеля является устойчивым, при — неустойчивым, а при — нейтрально-устойчивым. В нормальных эксплуатационных режимах работы дизель как объект регулирования является устойчивым, т. е. обеспечивается условие

Рис. 111.7. Схема гидротурбины

Гидротурбина. В ряде случаев для объекта регулирования не представляется возможным пользоваться экспериментальными характеристиками и Тогда можно получить линейные дифференциальные уравнения объекта регулирования, пользуясь аналитическими выражениями. Рассмотрим это на примере гидравлической турбины, схема которой показана на рис. III.7.

Вода из водоема 1 через короткий 1 канал 2 поступает к колесу гидротурбины 4. Количество воды регулируется направляющим аппаратом 3, изображенным на рис. III.7 в виде заслонки. На валу гидротурбины установлен турбогенератор 5. Слив воды происходит через канал 6.

Уравнение движения ротора гидротурбины запишем в виде уравнения типа (III.24). Движущий момент зависит от скорости течения воды в канале, величины z открытия направляющего аппарата 3 и угловой скорости вращения колеса гидротурбины, т. е.

где — коэффициент, зависящий от конструкции гидротурбины.

Уравнение (III.39) является нелинейным. Линеаризуем его с помощью разложения в ряд Тейлора по степеням со, и отбрасывая члены разложения второго и более высоких порядков малости. При этом будем считать, что скорость течения воды в канале постоянна; тогда

где .

Уравнение (II 1.40) приведем к виду

Момент сопротивления представим в виде

где — установившийся момент сопротивления на валу гидротурбины; — момент от изменения нагрузки на гидротурбине за счет мгновенного подключения или отключения потребителей электроэнергии, т. е.

Для определенности будем считать, что часть нагрузки отключилась; тогда в уравнение (111.24) можно подставить зависимости (111.42) и (111.44):

В установившемся состоянии тогда уравнение турбины в приращениях примет вид

Номинальными значениями для гидротурбины будем считать следующие: Имея это в виду, перепишем уравнения (III.46):

Введем в уравнение (III.47) следующие обозначения:

после чего получим

Данное уравнение гидротурбины является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Самолет. Движение самолета в вертикальной плоскости описывается двумя уравнениями сил и одним уравнением моментов. Все силы, действующие на самолет, приведем к центру масс (точка О на рис. II 1.8), а моменты — к моментам относительно поперечной оси самолета, проходящей через точку О. При составлении уравнений будем пользоваться следующими допущениями: влияние действия потока от крыла на оперение самолета незначительно и им можно пренебречь;

колебания угловой скорости поперечной оси на величину аэродинамической силы влияния не оказывают;

влиянием ошибок стабилизации по крену можно пренебречь; моменты, создаваемые силой тяги двигателя, можно не учитывать. Тогда уравнение проекции сил на касательную к траектории полета самолета (ось ) будет иметь вид

где — масса самолета; — сила тяги двигателя, направленная по оси — площадь крыльев самолета; — коэффициент лобового сопротивления самолета, отнесенный к площади крыльев; — соответственно углы вектора скорости и атаки; — плотность воздуха; — ускорение свободного падения.

Составим уравнение сил, действующих на самолет по нормали к траектории его полета:

где — коэффициент подъемной силы, отнесенный к площади крыльев.

Рис. III.8. Схематический вид самолета

Рис. III.9. Типовые зависимости для самолета от числа М

Рис. III.10. Типовые зависимости изменения тяги турбореактивного двигателя от высоты полета Н и числа М

Уравнение моментов относительно поперечной оси зэпищем в виде

где — момент инерции самолета относительно оси; — средняя аэродинамическая хорда крыла; — угол тангажа; — коэффициент момента всех сил, действующих на самолет; — угол отклонения руля высоты.

К уравнениям аэродинамики добавим зависимость, связывающую угловые параметры самолета:

Параметры зависят от скорости полета самолета.

Типовые графики зависимостей от числа М показаны на рис. III.9. В зависимости от условий полета (числа М и высоты полета Н) изменяются тяговые характеристики турбореактивного двигателя. На рис. показаны кривые изменения тяги турбореактивного двигателя от М и Н. Зависимости при учете графиков, приведенных на рис. III.9 и III.10, представляют собой нелинейные уравнения с переменными коэффициентами. Непосредственное их использование для анализа систем управления самолетом вызывает большие трудности. Для их преодоления применяют метод линеаризации, при котором уравнения динамики полета самолета рассматривают в отклонениях от некоторой «опорной» траектории полета (см. п. 3 гл. III).

Опорную траекторию можно найти методом численного интегрирования следующей системы уравнений:

Решая эту систему уравнений, получаем опорные параметры полета самолета при Последнее соотношение справедливо лишь на некотором участке полета (см. рис. III.10). Опорные параметры траектории будут Имея это в виду, уравнения динамики

полета самолета (III.49)-(III.51) можно записать в приращениях, т. е. считая, что

Подставим полученные соотношения (III.54) в уравнения (III.49) - (III.51); тогда, пренебрегая величинами второго и более высокого порядков малости, получим следующее уравнение в приращениях:

где

Полученные соотношения являются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, т. е.

где

(см. скан)

Характеристики самолета показаны на рис. III.11, a и б [72].

Из динамики полета самолета известно [43], что движение его центра масс в направлении полета практически не зависит от движения относиг тельно центра масс. В этом случае можно пренебречь первым уравнением (III.56) и некоторыми членами уравнений, а также считать, что

Рис. III.11. Типовые характеристики для самолета

Рис. III.12. Изменение коэффициентов уравнения от высоты, полета Н при

Рис. 111.13. Изменение коэффициентов уравнений (III.57) от чист М при .

Тогда, положив — а и учитывая знаки у характеристик получим следующую систему уравнений:

где

В системе уравнений (III.57а) опустим символы приращений и обозначим через тогда получим

Соотношения (III.576) представляют собой линейную систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, описывающую динамику статического устойчивого объекта. Характер изменения динамических коэффициентов в зависимости от условий полета для самолета показан на рис. III.12 и III.13 185]. Из этих рисунков видно,

что на некоторых достаточно малых участках полета самолета эти коэффициенты можно считать постоянными (не зависящими от времени) (см. гл. IX). Такой способ в теории регулирования принято называть методом «замораживания» коэффициентов [72]. Существуют такие режимы полета самолета, например набор высоты или снижение, при которых происходит быстрое изменение коэффициентов. В этих случаях метод «замораживания» коэффициентов неприменим, и анализ системы управления самолетом приходится выполнять на аналоговых или цифровых электронных вычислительных машинах.