4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Критерий Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (XI.54) имели отрицательные действительные части, т. е. нулевое решение линейной автономной системы (XI.49) было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы следующая матрица, составленная из коэффициентов уравнения (XI.54) и равная

являлась положительно определенной, т. е. ее угловые миноры (определители Гурвица) причем при составлении определителя элемент с номером, большим равен нулю.

Пример XI.11. Рассмотрим вновь линейную автономную систему, описываемую уравнениями (XI.52). Матрица этой системы

Характеристическое уравнение имеет вид

Матрица Гурвица откуда следует, что т. е. все определители Гурвица положительны, и система уравнений (XI.52) асимптотически устойчива в соответствии с критерием Гурвица. Из приведенного выше характеристического уравнения второго порядка следует, что вещественные части двух комплексно-сопряженных корней отрицательны, и, следовательно, система (XI.52) устойчива.

Преднамеренно выбран такой простой пример, чтобы показать преимущества критерия Гурвица для линейных систем по сравнению с прямым методом Ляпунова.

Пример XI.12. Рассмотрим систему автоматического регулирования, изображенную на рис. XI.10 [1]. Передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии найдем в виде

Рис. XI.10. Структурная схема одноконтурной системы автоматического регулирования

а характеристическое уравнение будет

Приведем это уравнение к виду выражения (XI.54); тогда получим

Определители Гурвица представим в виде

Пользуясь этими определителями, запишем условия устойчивости Гурвица:

В выражениях (XI.62) значения поэтому остается одно условие устойчивости

Таким образом, условие устойчивости сводится к неравенству вида

Вычисление определителей Гурвица для характеристических уравнений высокого порядка представляет немалые трудности, поскольку необходимо найти определителей для уравнения -го порядка. Анализ матрицы Гурвица (XI.59) позволяет сделать некоторые упрощения, поскольку

однако непосредственное вычисление каждого из оставшихся определителей достаточно трудоемко.

Существует последовательность преобразований, которая позволяет вычислить все определители Гурвица до 1-го включительно, она состоит в следующем.

Определитель Гурвица для характеристического уравнения (XI.54) имеет вид

Определители Гурвица низших порядков равны соответственно

Умножим элементы первой строки определителя (XI.66) на и вычтем полученные значения из элементов второй строки; тогда вместо второй строки будет строка

умножим элементы второй строки на и вычтем их из элементов третьей строки; тогда вместо третьей строки будет строка

умножим элементы той же второй строки на и вычтем их из элементов четвертой строки; тогда вместо четвертой строки получим

Таким образом, после указанных преобразований определитель (XI.66) принимает вид

причем на диагонали трех верхних строк находятся вычисленные определители. Продолжая аналогичный процесс над строками, начиная с четвертой, окончательно получим

Таким образом, определитель равен произведению всех его диагональных элементов:

Соотношение (XI.67) является в определенном смысле рекуррентным соотношением, процедура получения которого изложена выше. Свойство неустойчивости системы может быть выявлено на промежуточной стадии вычислений, если оказалось, что

Пример XI.13. Пусть характеристическое уравнение имеет вид

Запишем определитель

Возьмем и выполним требуемые преобразования с определителем, после чего найдем и также сделаем необходимые преобразования и т. д. В результате получим

все диагональные элементы положительны, что указывает на устойчивость системы

Критерий Рауса. Наряду с последовательностью преобразований, характерной для вычислений определителя Гурвица, используют мнемоническое правило, связанное с составлением таблицы Рауса (табл. XI. 1). В первую строку этой таблицы выписывают все элементы характеристического уравнения (XI.54) с четными индексами (коэффициент во вторую строку — все элементы с нечетными индексами. Третью строку составляют по формуле вычисления определителей второго порядка и делением полученного результата на При формировании четвертой строки те же действия выполняют над элементами второй и третьей строк и т. д.

Таблица XI.1 (см. скан) Таблица Рауса

Таблица XI.2. Коэффициенты Рауса (для примера XI. 14)

Элемент таблицы Рауса можно вычислить с помощью следующей формулы:

Сформулируем критерий Рауса: для того чтобы система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца были положительны (т. е. )

Пример XI. 14. Проверить устойчивость системы автоматического регулирования, имеющей характеристическое уравнение

Составим таблицу Рауса (табл. XI.2). Так как элементы первого столбца равны 1; 8; 16; 13,5; 5, то система автоматического регулирования устойчива.

Критерий Льенара—Шипара. Для устойчивости системы, описываемой уравнением (XI.54), необходимо и достаточно, чтобы были положительны все его коэффициенты и главные миноры нечетного порядка определителя Гурвица. Доказательство этого критерия можно получить с помощью таблиц Рауса для характеристических уравнений различных порядков. Запишем условие устойчивости Льенара—Шипара для характеристических уравнений порядков:

Полученные неравенства удобны для анализа устойчивости систем автоматического регулирования и при более высоких порядках уравнений. В этом случае целесообразно использовать цифровые вычислительные машины.