5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМИ МАШИНАМИ

Во всех ранее рассмотренных параграфах дайной главы для организации экстремальных систем регулирования использовались поисковые сигналы. Поисковый сигнал вносит дополнительное возмущающее воздействие, ухудшающее процесс регулирования. Кроме того, из-за наличия поискового сигнала снижается быстродействие в экстремальных системах, так как

происходят дополнительные затраты времени, связанные с необходимостью делать поисковые шаги и измерять показатели качества.

Для устранения этих недостатков в последнее время стали применять беспоисковые экстремальные системы, в которых за счет использования априорных сведений об объекте регулирования удается перевести его в экстремальное состояние. На рис. XVI. 18 показана блок-схема беспоисковой экстремальной системы регулирования, обеспечивающая оптимальный режим работы регулятора (см. гл. XX). В процессе работы системы параметры объекта регулирования и управляющее воздействие изменяются. Поэтому управляющее устройство должно так изменять параметры регулятора, чтобы показатель качества системы регулирования был минимальным. В этом и заключается экстремальность регулирования.

Среди экстремальных систем такого типа широкое применение получили системы, в которых качество переходных процессов закладывается в динамику эталонной модели, представляющую собой аналоговую или цифровую вычислительную машину (см. гл. VI). В системах с эталонной моделью путем сравнения измеренного и заданного показателей качества формируют дополнительный сигнал, обеспечивающий сохранение требуемого показателя качества. Такой способ формирования называют сигнальной настройкой.

Системы с эталонной моделью и сигнальной настройкой имеют довольно простое конструктивное решение, но обеспечивают постоянство показателя качества в органиченном диапазоне изменения параметров объекта. Применение в системах самонастройки с помощью изменения параметров настраиваемой части более универсально, но требует более сложного конструктивного решения.

Рассмотрим блок-схему самонастраивающейся системы с эталонной моделью и дополнительным сигналом управления (рис. XVI. 19). В этой схеме устройство управления на основе информации о рассогласовании векторов состояния модели настраиваемой системы вырабатывает вектор дополнительного управления

Проектирование системы начинается с синтеза эталонной модели, которая соответствует структуре основного контура на одном из режимов работы. В дальнейшем с учетом рассогласования состояний модели и системы определяется дополнительное управление из условия асимптотической устойчивости самонастраивающейся системы. Для анализа устойчивости используется второй, метод Ляпунова (см. гл. XI).

Синтезируемые законы управления являются нелинейными и в совокупности с эталонной моделью могут быть реализованы на аналоговых элементах либо на цифровом вычислительном устройстве.

Предположим, что динамика основного контура описывается системой линейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами вида

Рис. XVI.18. Блок-схема беспоисковой системы экстремального регулирования для оптимизации работы регулятора

Рис. XVI.19. Блок-схема самонастраивающейся системы экстремального регулирования с моделью и дополнительным сигналом управ ления

Тогда уравнения эталонной модели принимают вид

где матрицы А и В имеют постоянные коэффициенты, соответствующие одному из моментов времени для уравнения (XVI.84).

Введем вектор рассогласования переменных состояния модели и системы

В этом случае уравнения динамики системы с эталонной моделью можно получить, вычитая выражения (XVI.84) из выражения (XVI.85). Если это выполнить и учесть соотношения (XIV.86), то получим

где

Теперь необходимо выбрать такой вектор управления чтобы можно было обеспечить ассимптотическую устойчивость в целом системы управления с эталонной моделью.

Структуру устройства для формирования вектора найдем с помощью прямого метода Ляпунова. Для этого выберем функцию Ляпунова в виде положительно определенной квадратичной формы:

где — матрица собственных векторов матрицы А системы уравнений (XVI.85), расположенных по строкам; — матрица эрмитовосопряженная с матрицей Н (см. прил. VI).

Для линейных систем это возможно всегда. Производная функция Ляпунова, взятая в соответствии с уравнением (XVI.87), примет следующий вид:

где

Поскольку в случае положительно определенной матрицы Р и устойчивой системы матрица также положительно определена, то для отрицательной производной функции Ляпунова достаточно, чтобы выполнялось условие т. е.

Обеспечить выполнение этого условия необходимо за счет выбора вектора управления

Расписывая неравенство (XVI.92) в координатной форме, получим

В последнем соотношении потребуем, чтобы каждое слагаемое было больше или равно нулю, т. е.

Для выполнения последнего условия дополнительное управление определяется выражением

где

Таким образом, одна из возможных структур устройства для формирования дополнительного управления характеризуется формированием n-мерного вектора с переключением на гиперплоскостях

В реальных системах сформировать -мерный вектор не представляется возможным, поскольку подать дополнительный сигнал в устройства объекта регулирования (рис. XVI. 19), как правило, нельзя.

Покажем, что можно сформировать единственный дополнительный сигнал управления воздействующий на систему в общем случае как вектор где вектор определяется точкой приложения дополнительного управления.

Раскрывая скобки в соотношении (XVI.93), получим условие

Введем обозначения:

Тогда сигнал управления можно записать в виде

где .

Число коэффициентов в законе управления (XVI.97) можно уменьшить, если его сформировать в виде

где

Это другой возможный вариант синтеза дополнительного сигнала управления. Практическая трудность реализации этого закона связана с тем, что на гиперплоскости переключения управляющее воздействие бесконечно велико. Но именно это условие вытекает из требования асимптотической устойчивости. Выдвигая гипотезу, что в этом случае возникает скользящее движение по гиперплоскости переключения, закон (XVI.98) можноупростить.

Поскольку гиперплоскость

стационарна, потребуем, чтобы на этой гиперплоскости в соответствии с уравнением (XVI.87) существовал скользящий режим движения. Для этого в качестве функции Ляпунова выберем

Такой выбор нельзя провести ранее, поскольку было неизвестно выражение для а. Производная функции Ляпунова (XVI. 100)

Управление будем искать в виде

Подставляя последнее выражение в (XVI. 101), которое должно быть меньше нуля, получим следующее соотношение для дополнительного управления:

где

Для системы со скалярным входным сигналом закон управления принимает вид

Рис. XVI.20. Блок-схема реализации закона управления (XV 1.104)

Для обеспечения непрерывности решения (XVI.87) функцию знака в законе управления следует заменить функцией насыщения

где постоянный коэффициент желательно выбирать большим с целью приближения к релейному управлению.

Блок-схема реализации полученного закона управления (XVI. 104) показана на рис. XVI.20.

Пример XVI.5. Рассмотрим каиал продольного движения самолета Структурная схема системы автоматического управления перегрузками показана на рис. XVI.21. Уравнения динамики самолета в продольной плоскости приведены в гл. III. Значения коэффициентов в уравнении (III.57) для трех режимов полета указаны в табл. XVI.I.

Запишем систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику контура демпфирования. В векторно-матричной форме эта система примет вид

где

Рис. XV 1.21. Структурная схема контура управления перегрузкой самолета

Таблица XVI.1 (см. скан) Динамические коэффициенты самолета F-101B

Вектор х включает координаты угла атаки а, угловой скорости тангажа перемещение штока сервопривода дссп и его скорости Вектор выходных сигналов у, измеряемых посредством имеющихся на борту датчиков, имеет следующий вид:

где — перегрузка самолета.

Согласно изложенной выше методике необходимо знать систему уравнений относительно выходных координат. Ее можно получить, подставив уравнение (XVI. 106) в уравнение состояния (XVI. 105). При этом получим систему уравнений, адекватную (XVI.87).

Систему уравнений эталонной модели, используя параметры с,- номинального режима, относительно которого рассчитывались коэффициенты корректирующих устройств, запишем в виде

Тогда, вычисляя собственные значения и векторы матрицы модели, сформируем в Соответствии с (XVI.88) матрицу Р:

Рис. XVI.22. Переходные процессы в контуре управления перегрузкой самолета: а — экстремальная система; б — обычная система

Выражение для гиперплоскости переключения будет иметь вид

Обеспечивая сушествоваиие скользящего режима на гиперплоскости закон формирования дополнительного управления можно представить следующим образом:

Для демонстрации эффективности введения дополнительного управляющего сигнала на рис. XVI.22, а приведены переходные пропессы по перегрузке при подаче на вход самонастраивающейся системы единичного ступенчатого воздействия для трех приведенных в табл. XVI. 1 режимов. Переходные процессы для этих же режимов без подачи дополнительного управления пбказаны на рис. XVI.22, б.