5. СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Свойство 1. Четность корреляционной функции. Корреляционная функция является четной функцией: Данное свойство вытекает из отмеченного ранее свойства симметрии

Взаимно-корреляционные функции двух стационарно-связанных процессов не являются четными; для них справедливы соотношения

Свойство 2. Дисперсия стационарного процесса. Значение дисперсии равно при

Свойство 3. Связь между автокорреляционной и нецентрированной корреляционной функциями. Эта связь выражается соотношением

а при

Свойство 4. Начальные значения корреляционной функции. При всех имеем В самом деле, поскольку то и Отсюда находим:

тогда

На основании этого свойства можно ввести коэффициент корреляции:

Аналогично определяется коэффициент взаимной корреляции:

Свойство 5. Конечное значение корреляционной функции. Действительно, при больших значения эргодического процесса в моменты и практически независимы, поэтому

Соответственно или при

Для большинства встречающихся в системах регулирования случайных процессов это свойство выполняется, однако оно не справедливо для вырожденных случайных процессов, все реализации которых являются регулярными функциями времени (например, синусоидальными).

Свойство 6. Связь корреляционной функции со спектральной плотностью. Для всякой корреляционной функции стационарного случайного процесса существует преобразование Фурье этой функции: прямое

и обратное

причем для любых имеем

Доказательство этого свойства составляет содержание теоремы Винера—Хинчина [8, 62].

Функция однозначно связанная с корреляционной функцией является важнейшей характеристикой стационарного случайного процесса и носит название спектральной плотности мощности случайного процесса.

Физический смысл этого названия можно пояснить следующим образом. Если, например, — случайно меняющийся во времени ток, протекающий через активное сопротивление, то величина пропорциональна (с точностью до константы) мощности этого тока в момент времени Положим, что постоянная составляющая тока равна нулю: Тогда на интервале среднее значение мощности процесса совпадает со средним значением его переменной составляющей и для эргодического процесса стремится к

С другой стороны, из (XIII. 132) имеем

Таким образом,

Отсюда видно, что представляет собой плотность средней мощности переменной составляющей процесса по частоте

Для стационарных процессов, имеющих отличную от нуля постоянную составляющую (это либо детерминированная константа, либо математическое ожидание эргодического процесса целесообразно ввести спектральную плотность полной мощности, определив ее как преобразование Фурье второго начального момента:

Из этого соотношения находим связь между

где использовано известное интегральное представление -функции

Из определения вытекает

откуда при имеем разложение среднего квадрата, т. е. разложение полной мощности процесса по частотам в следующем виде:

Для двух стационарных и стационарно-связанных случайных процессов с взаимно-корреляционной функцией на основании теоремы Хинчина может быть введена также взаимная спектральная плотность