5. НЕУСТОЙЧИВЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ (РЕСИВЕР, РАКЕТА-НОСИТЕЛЬ КОСМИЧЕСКИХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ)

Неустойчивые статические объекты будем рассматривать на примерах воздушного ресивера и ракеты-носителя для космических летательных аппаратов. При выводе уравнений динамики будем применять аналитические методы составления дифференциальных уравнений.

Ресивер. Рассмотрим в качестве объекта системы регулирования ресивер, общий вид которого показан на рис. 111.14. На входе ресивера установлена заслонка с сечением а на выходе — заслонка с сечением Газ под давлением большим критического, поступает через сечение в ресивер объема V, где устанавливается давление Следовательно, истечение через будет сверхкритическим. Газ через сечение поступает к потребителю под давлением меньшим критического. В этом случае истечение газа является докрнтическим.

Уравнение динамики в ресивере можно записать в виде

где у — удельный вес газа в ресивере; — массовый расход газа в сечении — весовой расход газа в сечении

При малом изменении температуры газа уравнение (III.58) будет

где — постоянная Клапейрона; Т — абсолютная температура газа.

При сверхкритическом истечении газа через сечение массовый расход определяется по формуле

где — коэффициент расхода через сечение — показатель адиабаты газа; — удельный объем газа в сечении

Рис. 111.14. Схема воздушного ресивера

Уравнение (III.60) с помощью подстановки можно привести к виду

где

Для докритического истечения газа через сечение можно найти его массовый расход

Формулу (II 1.62) можно упростить [46] и привести к виду

где Т — температура газа внутри ресивера.

Подставив полученные выражения (111.61) и (111.63) в уравнение (111.59), получим

Линеаризуем уравнение (III.64), считая при этом, что давления являются постоянными:

Уравнение установившегося режима в ресивере будет

тогда уравнение (III.65) в приращениях примет вид

Разделив левую и правую части уравнения (III.67) на и выполнив некоторые преобразования, получим

Но из уравнения (III.66) имеем

тогда уравнение (III.67) с учетом соотношений (III.69) будет

Для уравнения (II 1.70) введем следующие обозначения:

после чего получим

Если принять, что выходное сечение не изменяется, т. е. то уравнение (III.71) примет следующий вид:

Линейное уравнение (II 1.72) описывает динамические процессы в ресивере. Параметр этого уравнения называют степенью самовыравнивания объекта регулирования.

Степень самовыравнивания характеризует поведение объекта регулирования без регулятора. При объект регулирования обладает положительным самовыравниванием. При перемещении заслонки на входе на некоторую величину в ресивере асимптотически устанавливается заданное давление. Если то объект регулирования обладает отрицательным самовыравниванием. Перемещение заслонки на входе ресивера на некоторую величину приводит к возрастанию давления до тех пор, пока оно не достигнет величины

В этом случае обеспечить устойчивую работу объекта регулирования без регулятора совершенно невозможно. Если то объект регулирования обладает нулевым самовыравниванием. Обеспечить нормальную работу объекта регулирования при без регулятора также невозможно.

На рис. III. 15 показаны решения дифференциальных уравнений (111.72) при нулевых начальных условиях, различных степенях самовыравнивания и Из рис. 111.15 видно, что при функция асимптотически стремится к установившемуся значению; при функция (111.72) линейно возрастает; при функция стремится к бесконечности.

При ресивер представляет собой неустойчивый объект регулирования, и его уравне ние динамики имеет следующий вид:

Рис. 111.15. Характеристики при для ресивера при различных степенях самовыравнивания

Рис. III.16. Схема ракеты-носителя космических летательных аппаратов: — длина ракеты (до среза сопла); — расстояние от носка ракеты до оси поворота управляющих двигателей; — расстояние от носка ракеты до ее центра массы; — расстояние от носка ракеты до центра давления

О работе систем автоматического регулирования с неустойчивыми объектами будет рассказано в гл. XI. Там показано, что при использовании в системе регулятора с параллельным корректирующим устройством удается обеспечить устойчивость системы автоматического регулирования в замкнутом состоянии и с неустойчивым объектом.

Ракета-носитель космических летательных аппаратов (КЛА). Запишем линеаризованные уравнения динамики ракеты-носителя при ее движении по нормали к траектории (рис. III. 16) в следующем виде [74]:

где

здесь — масса ракеты-носителя; — площадь ракеты; — скорость полета ракеты на опорной траектории; — угол тангажа по опорной траектории; — тяга двигателей; — секундный расход массы жидкости

в баке; возмущающая сила, действующая на ракету; - возмущающий момент, действующий на ракету;

Характер переходных процессов зависит от знаков коэффициентов Как известно [74], производная коэффициента моментов по углу атаки определяется по формуле

откуда видно, что при Тогда в уравнениях динамики появляются коэффициенты с отрицательными знаками, которые соответствуют неустойчивости ракеты относительно траектории полета. Действительно, в этом случае при наборе высоты не создается момента от поворота сопла вверх, который парировал бы момент от подъемной силы, и ракета опрокидывается на траектории. Данное явление указывает на неустойчивость ракеты как объекта системы автоматического регулирования. Обычно у ракет-носителей космических летательных аппаратов на начальном участке полета и их движение по траектории без автоматической системы невозможно.

По мере выгорания топлива и изменения аэродинамических характеристик во время полета происходит перемещение центра давления (точка D на рис. 111.16) за центр масс (точка О), что приводит к перемене знака Тогда при повороте сопла вверх момент от реактивной силы парирует момент от подъемной силы, и ракета совершает нормальный полет по траектории. В этом случае ракета как объект системы регулирования является устойчивой. Таким образом, ракетатноситель космических летательных аппаратов в зависимости от времени полета изменяет, свои динамические характеристики и из неустойчивой становится устойчивой. Очевидно, существует и такое положение, когда что соответствует нейтральному состоянию ракеты.