ГЛАВА XIII. ДИНАМИЧЕСКАЯ ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

1. Коэффициенты ошибок. 2. Определение коэффициентов ошибок в системах автоматического регулирования с помощью логарифмических амплитудных характеристик. 3. Повышение точности систем автоматического регулирования путем применения комбинированного управления. 4. Основные характеристики случайных процессов.

5. Свойства корреляционных функций стационарных процессов.

6. Свойства спектральной плотности мощности. 7. Операции над случайными процессами. 8. Преобразование случайных сигналов линейными системами. 9. Расчет ошибок в системе автоматического регулирования при действии шумов. 10. Оптимизация систем автоматического регулирования при воздействии случайных сигналов и шумов.

Одной из наиболее важных характеристик системы автоматического регулирования является ее динамическая точность, или ошибка в системе при подаче на нее управляющих и возмущающих воздействий. Как уже отмечалось в гл. I, все управляющие и возмущающие воздействия делятся на два типа: регулярные и случайные.

Обычно регулярные воздействия являются медленно меняющимися функциями времени по сравнению с длительностью переходного процесса системы.

При этом точность системы регулирования определяется значением ошибки в установившемся режиме:

Это условие налагает вполне определенные требования на воздействия. В этом случае точность системы рассчитывается по коэффициентам ошибки, получаем с помощью передаточной функции замкнутой системы по ошибке и производным от воздействий.

Если управляющее и возмущающее воздействия представляют собой случайные функции и задаются вероятностными характеристиками, то точность системы определяется не мгновенными значениями ошибки, а ее средней величиной. В качестве такой меры используется среднее значение квадрата ошибки

При этом считается что полезный сигнал и помеха являются случайными воздействиями

1. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК

Определим коэффициенты ошибок в статических системах автоматического регулирования с помощью выражения для ошибки

Представим в обычной форме:

Выражение (XIII.4) приведем к виду

Введем в выражение (XIII.5) следующие обозначения:

Тогда выражение (XIII.5) будем иметь вид

Подставив выражение (XIII.6) в формулу (XIII.3), получим

Разложим выражение (XIII.7) в ряд Маклорена при малых

Постоянные ряда Маклорена называются коэффициентами ошибок статической системы автоматического регулирования.

Для определения этих коэффициентов разделим числитель выражения (XIII.7) на его знаменатель, т. е. где

Продолжая процесс деления, получим искомый результат в виде следующего ряда коэффициентов:

Данный ряд является сходящимся, так как в установившемся состоянии значение мало. Применив к ряду (XIII.8) обратное преобразование Лапласа, получим

где несколько первых коэффициентов ряда имеют значения

При условии выражение (XIII. 10) можно представить в виде следующего приближенного ряда:

где — коэффициент статизма статической системы; — коэффициент добротности статической системы по скорости; — коэффициент добротности статической системы по ускорению; — коэффициент добротности статической системы по первой производной ускорения.

Эти коэффициенты связаны следующими соотношениями с коэффициентами ошибок:

Перейдем к определению коэффициентов ошибок в системах автоматического регулирования с астатизмом первого порядка.

Передаточная функция (XIII.6) разомкнутой системы с астатизмом первого порядка имеет вид

тогда

Из выражения (XIII.15) можно получить ряд

Для определения коэффициентов ошибок разделим где

Запишем результат деления в виде

т. е.

Ряд (XIII.17) является сходящимся при Применив к ряду (XIII.18) обратное преобразование Лапласа и учитывая выражение (XIII.17), найдем

где

Выражение (XIII. 18) приближенно представим в следующем виде:

где — коэффициент добротности по скорости для системы с астатизмом первого порядка; — коэффициент добротности по ускорению для системы с астатизмом первого порядка; — коэффициент добротности по первой производной ускорения для системы с астатизмом первого порядка.

Коэффициенты ошибок связаны с добротностями следующими соотношениями:

Перёйдем к определению коэффициентов ошибок системы автоматического регулирования с астатизмом второго порядка. В этом случае выражение (XIII.6) принимает вид

откуда получим, что

Используя выражение (XIII.23) и деление по степеням, найдем

Воспользуемся снова методом деления числителя на знаменатель выражения (XII 1.23); тогда получим ряд

Пользуясь обратным преобразованием Лапласа, найдем

где

Ограничиваясь двумя первыми слагаемыми, ряд (XIII.26) можно переписать в виде

Рис. XIII.I. Сравнительная оценка точностей статической и астатических систем автоматического регулирования при подаче на вход типового сигнала : 1 — статическая система; 2 — астатическая система первого порядка; 3 астатическая система второго порядка

где — коэффициент добротности по ускбрению системы с астатизмом второго порядка; коэффициент добротности по производной ускорения системы с астатизмом второго порядка.

Из выражений (XIII.26) и (XIII.27) получим

Сравним точность статической и астатических систем автоматического регулирования при действии некоторых типовых сигналов. Пусть на вход систем поступает сигнал тогда по формулам (XIII.10), (XIII.18) и (XIII.26) найдем следующие значения ошибок: для статической системы

для астатической системы первого порядка

для астатической системы второго порядка

Примем, что коэффициенты, входящие в формулы будут

Кривые ошибок для трех рассматриваемых автоматических систем построены на рис. XIII.1. Как видно из рисунка, наибольшую точность имеет система автоматического регулирования с астатизмом второго порядка.

Будем считать, что на вход системы поступает синусоидальный сигнал

где — достаточно малая частота.

Выражения ошибок имеют следующий вид: для статической системы

или при малых

для астатической системы первого порядка

или при малых

для астатической системы второго порядка

или при малых

Подставим в формулы (XIII.34), (XIII.36) и (XIII.38) следующие значения параметров: тогда рад. Из полученных значений видно, что при действии синусоидального сигнала система с астатизмом первого порядка в 5 раз, а система с астатизмом второго порядка в 50 раз точнее статической системы.

В заключение можно отметить, что формулы (XIII.12), (XIII.20) и (XIII.27) пригодны для вычисления ошибок в системах автоматического регулирования при любых сигналах, поступающих на их вход, когда спектр входного сигнала заключен в полосе низких частот (до со (см. гл. XVII). Перейдем к примерам определения точности конкретных систем автоматического регулирования.

Пример XIII.1. Определить коэффициенты ошибок и построить характеристику точности в астатической системе автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию

если управляющий сигнал, поступающий на вход, записывается в виде

Представим передаточную функцию (XI 11.39) в виде

Тогда по выражениям (XIII.19) получим

По формуле (XIII. 18) найдем

где — длительность переходного процесса (время регулирования).

По этому выражению на рис. XIII.2 построена характеристика точности системы автоматического регулирования с астатизмом первого порядка.

Рис. XIII.2. Характеристика точности системы автоматического регулирования с астатизмом первого порядка при рад.

Рис. XIII.3. Характеристика точности следящей системы с астатизмом второго порядка

Пример XIII.2. Определить коэффициенты добротности в следующей системе с астатизмом второго порядка и построить характеристики точности по угловому ускорению входного сигнала, если ее передаточная функция имеет вид

Будем считать, что рад; тогда и точность следящей системы при определяется по формуле

Если изменять - в пределах от 0 до то получим характеристику точности следящей системы (рис. XIII.3).