3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Метод фазовой плоскости теории автоматического регулирования был введен А. А. Андроновым [26]. Сущность метода заключается в построении фазовых траекторий по дифференциальным уравнениям в системе координат: отклонение регулируемой величины х и скорость ее изменения

Процесс изменения траектории представляет собой движение изображающей точки на плоскости. Начальные условия системы определяют первоначальное положение изображающей точки на фазовой плоскости. Совокупность фазовых траекторий в плоскости представляет собой фазовый портрет.

Построим на фазовой плоскости некоторые наиболее характерные фазовые портреты. Для этого воспользуемся дифференциальным уравнением второго порядка:

Рассмотрим следующие случаи.

Случай т. е.

Решение этого уравнения запишем в виде

где

На основании выражений (XIV. 15) нетрудно найти следующее соотношение:

которое представляет собой уравнение эллипса с полуосями А и При различных начальных значениях А на фазовой плоскости получаемсемейство подобных эллипсов, которые не пересекаются и имеют общий центр (рис. XIV.6, а).

Уравнение фазовой траектории можно записать и в другом виде. Из уравнения (XIV. 14) имеем

но откуда

Подставив соотношение (XIV. 18) в уравнение (XIV. 17) и сделав ряд преобразований, получим

Возьмем на одном из эллипсов (рис. XIV.6, а) точку с координатами Соответствующее положение этой точки в координатах показано на рис. XIV.6, б. Точка на рис. XIV.6, а соответствует точке на рис. XIV.6, б и т. д. Таким образом, движение изображающей точки на фазовой плоскости по эллипсу представляет собой периодический процесс с постоянными амплитудой А и частотой (автоколебания).

Случай . В этом случае уравнение (XIV. 13) имеет комплексно-сопряженные корни и его решение имеет вид

или

При любых начальных условиях имеем действительное решение, т. е.

где

Отсюда

Пользуясь выражениями (XIV.22) и (XIV.23), нетрудно получить соотношение для радиус-вектора

Данное уравнение соответствует свертывающейся логарифмической спирали, так как при радиус-вектор стремится к нулю (рис. XIV. 7, а).

Уравнение (XIV. 13) можно переписать в виде

Рис. XIV.6. Фазовый портрет системы второго порядка и перехфдный процесс в ней при

Рис. XIV.7. Фазовый портрет системы второго порядка и переходный процесс в ней при

Подставляя соотношение (XIV. 18) в уравнение (XIV.25), получим следующее выражение для фазовых траекторий:

Возьмем на одной из фазовых траекторий (рис. XIV.7, а) точку . Перенесем эту точку на плоскость (рис. XIV.7, б). Двигаясь по фазовой траектории, получим затухающий колебательный процесс (рис. XIV. 7, б).

Точка равновесия является особой точкой фазовой плоскости и называется устойчивым фокусом.

Случай Корни характеристического уравнения и решение уравнения (XIV.13) имеет следующий вид:

откуда

Из выражений (XIV.27) и (XIV.28) найдём

Это уравнение соответствует развертывающейся логарифмической спирали, так как при имеем (рис. XIV.8, а).

Из уравнения (XIV.13) при получим

т. е. снова имеем уравнение развертывающейся спирали.

На рис. XIV.8, б в плоскости построен переходный процесс в системе, соответствующий движению Изображающей точки по фазовой траектории из точки .

Как видно из рис. XIV.8, б переходный процесс представляет собой незатухающий колебательный процесс

Рис. XIV.8. Фазовый портрет системы второго порядка и переходный процесс в ней при

Рис. XIV.9. Фазовый портрет системы второго порядка и переходный процесс в ней при

с неограниченно возрастающей амплитудой. Точка равновесия на фазовой плоскости называется неустойчивым фокусом.

Случай 4: . В этом случае имеем соотношение для радиус-вектора в виде выражения (XIV.24), а фазовые траектории описываются уравнением. (XIV.26). Фазовые траектории построены на рис. XIV.9, а. Точка равновесия называется устойчивым узлом. Фазовые траектории, имеющие точку равновесия в виде устойчивого узла, соответствуют апериодическому затухающему переходному процессу. Кривые 1—6 на фазовой плоскости соответствуют апериодическим кривым 1—6 на плоскости (рис. XIV.9, б).

Случай Движение изображающих точек направлено от точки равновесия системы к бесконечно удаленной точке фазовой плоскости (рис. XIV. 10, а). В этом случае положение равновесия системы неустойчивое. Точка равновесия данного типа называется неустойчивым узлом. Переходные процессы построены на рис. XIV. 10, б.

Случай неустойчивое звено, т. е.

Из уравнения (XIV.31) найдем

Интегрируя уравнение (XIV.32), получим

где С — постоянная интегрирования.

Выражение (XIV.33) представляет собой уравнение семейства равносторонних гипербол, симметричных относительно главных осей. На рис. XIV. 11 показан вид семейства фазовых траекторий, построенных по уравнению (XIV.33).

Определим асимптоты семейства гипербол, для чего положим Уравнения асимптот будут

Рис. XIV.10. Фазовый портрет системы второго порядка и переходный процесс в ней при

Рис. XIV.11. Фазовый портрет в системе для неустойчивого звена при отсутствии демпфирования

Направления движения изображающих точек на фазовой плоскости по асимптотам показаны на рис. XIV. 11. Из этого рисунка видно, что движение всех изображающих точек по гиперболам происходит от точки равновесия в бесконечность. Движение точек по асимптотам 1 и 3 также направлено в бесконечность. Изображающие точки по асимптотам 2 и 4 стремятся к положению равновесия. Точка равновесия представляет собой особую точку фазовой плоскости, называемую седлом.

По фазовым траекториям можно судить об устойчивости линейных систем автоматического регулирования, если их поведение описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. Рассмотренные выше особые точки фазовой плоскости соответствуют положениям устойчивого или неустойчивого равновесия систем.

Фазовые траектории можно строить и для релейных (нелинейных) систем регулирования второго порядка и с их помощью анализировать устойчивость таких систем. Следует заметить, что для нелинейных систем необходимо знать не только вид особых точек, но и характер особых траекторий. Имея фазовый портрет системы, находят по нему особые точки и траектории и определяют характер устойчивости системы в большом и в малом [21, 63].

Методы построения фазовых портретов. Как было показано раньше, для построения фазового портрета используют различные способы графического интегрирования дифференциальных уравнений. Наибольшее применение получили следующие методы: решения уравнений по участкам, изоклин, Льенара.

Метод решения уравнений по участкам. Зная дифференциальные уравнения систем на отдельных участках, построим их фазовые траектории на плоскости

Пример XIV.3. Построить фазовые траектории для релейной системы автоматического регулирования температуры печи (см. рис. XIV.1). Уравнение этой системы с идеальным реле с зоной нечувствительности имеет третий порядок. С целью понижения порядка уравнения примем, что мало, тогда после подстановки выражения (XIV.2) в (XIV.6) получим уравнения для трех участков:

Рис. XIV.12. Построение фазового пдртрета нелинейной системы с идеальным реле с зоной нечувствительности

Уравнение фазовых траекторий по формуле (XIV.35) найдем после подстановки

т. е.

Так как то последнее уравнение можно переписать в следующем виде:

Решение этого уравнения

где — произвольная постоянная интегрирования.

Для построения фазовых траекторий на участке проведем прямые с наклоном — — при различных значениях С. Эти прямые заполняют полосу между линиями переключений реле I—I и II—II (рис. XIV.12). На прямых проставим стрелки В соответствии со следующим правилом: в верхней половине плоскости, где изображающая точка всегда движется слева направо, а в ннжней пбловнне плоскости, где справа налево, т. е. по часовой стрелке. Правее лннин II—II, где из уравнения (XIV.36) имеем следующее выражение:

или

откуда

Для интегрирования выражение (XIV.40) перепишем в виде

откуда

По уравнений (XIV.41) Правее линии II—II построены фазовый траектории при различных значениях

Перейдем к решению уравнения (XIV.37) при

или

откуда

По уравнению (XIV.43) левее линии на рис. XIV.12 построены фазовые траектории при различных значениях Таким образом был построен фазовый портрет для релейной системы автоматического регулирования температуры печи.

Рассмотрим переходный процесс в этой системе. Для этого на рис. обозначим характерные точки Перенесем эти точки на плоскость тогда получим переходный процесс в системе (рис. XIV. 13). Как видно из рисунка, переходный Процесс затухает, а остановка процесса регулирования происходит в любой точке зоны нечувствительности реле.

Пример XIV.4. Уравнения системы регулирования температуры печи с двухпозиционным реле с петлей гистерезиса имеют третий порядок. Понизим порядок уравнений до второго, приняв тогда, подставив в уравнение (XIV.7), получим

Уравнение фазбвых траекторий получим после подстановки в выражения (XIV.44) и (XIV.45) и исключения времени т. е.

и

откуда найдем решения в виде уравнений (XIV.41) и (XIV.43).

Для построения фазовых траекторий на рис. XIV. 14 проведем две линии переключений:

при — вправо от оси ординат на расстоянии — и при влево от оси ординат на расстоянии Семейство фазовых траекторий построено на фазовой плоскости (рис. XIV. 14).

Из рис. XIV. 14 видно, что при больших начальных отклонениях в системе ее фазовые траектории соответствуют затухающему колебательному переходному процессу до установления некоторой амплитуды А и частоты . При малых начальных отклонениях фазовые траектории соответствуют нарастающему колебательному переходному процессу с установлением тех же значений амплитуды и частоты (рис. XIV.15). Границей между расходящимися и сходящимися фазовыми траекториями служит замкнутая кривая (см. рис. XIV.14). Эта замкнутая кривая соответствует периодическому колебательному процессу с частотой со и амплитудой А (или автоколебаниям). Амплитуда автоколебаний А определяется длиной отрезка оси абсцисс, а частоту автоколебаний находят по длине Отрезка оси ординат, равной Лео.

Рис. XIV.13. Переходный процесс в нёлинейндй системе с идеальным, релейным Элементом

Рис. XIV.14. Построение фазового. портрета нелинейной системы с реальным двухлозициднным релейным элементом

Рис. XIV. 15. Переходные процессы в нелинейной системе с реальным двухпозиционным релейным элементом.

Рис. XIV. 16. К определению амплитуды и частоты автоколебаний в релейной системе

Периодический процесс в данной релейной системе является устойчивым, так как при изменении начальных условий в системе всегда устанавливается процесс с амплитудой А и частотой Как видно рис. XIV. 14, амплитуда и частота автоколебаний не зависят от начальных условий, а определяются только параметрами системы автоматического регулирования

Пример XIV.5. Определить приближенно частоту и амплитуду автоколебаний по фазовому портрету, построенному на рис. XIV. Для упрощения рассуждений будем считать, что кривая является эллипсом (рис. XIV. 16); тогда колебания будут синусоидальными, т. е.

где — амплитуда автоколебаний; — частота автоколебаний.

Отрезок соответствует амплитуде автоколебаний частоту автоколебаний определяют по формуле

где — ось эллипса.

В тех случаях, когда аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения невозможно, применяют приближенные графические способы их интегрирования (методы изоклин и Льенара).

Метод изоклин. Допустим, что нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка путем замены у — можно привести к виду

и

откуда

где — наклон фазовой траектории на плоскости

Итак, в каждой точке фазового пространства можно найти вполне определенное значение наклона фазовой траектории, т. е.

Способ построения заключается в следующем. Из уравнения (XIV.50) находим функцию

представляющую собой уравнение изоклин.

Построим ряд изоклин 1—4 по уравнению (XIV.52) (рис. XIV. 17). В точке изоклин проведем две прямые с наклонами и - соответственно до пересечения с изоклиной 2. Отрезок разделим пополам и через точку проведем две прямые и с наклонами

Рис. XIV. 17. Построение фазовой траектории по изоклинам

Рис. XIV. 18. Фазовый портрет системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением (XIV.53)

Затем отрезок на изоклине 3 разделим на две части и найдем точку через которую проведем две прямые с наклонами Через точки проведена фазовая траектория с соответствующими им наклонами. Из данного рассмотрения видно, что точность построения фазовой траектории будет тем больше, чем чаще на графике нанесены изоклины.

Пример XIV.6 [761. Построить фазовый портрет системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением

пользуясь методом изоклин.

Пусть тогда уравнение (XIV.53) Примет вид

откуда найдем

Из выражения (XIV.55) определим уравнение изоклин в виде

На рис. XIV. 18 построены изоклины и нанесены соответствующие им наклоны По методике, изложенной выше, на рис. XIV. 18 был построен фазовый портрет системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением (XIV.53).

Метод Льенара [76]. Этот метод позволяет определить наклон фазовой траектории в любой точке фазовой плоскости. Представив нелинейное дифференциальное уравнение в виде

откуда найдем

В выражении (XIV. 58) положим

и построим на фазовой плоскости (рис. XIV.9) по уравнению (XIV.59) кривую 1. Если принять, что начало фазовой траектории находится в точке то, проведя из нее прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения

Рис. XIV.19. К построению фазового портрета по методу Льенара

Рис. XIV.20. Построение фазового портрета по методу Льенара

с кривой 1, получим точку Из точки проведем прямую, параллельную оси ординат, до пересечения с осью х (точка Наклон линии к оси абсцисс можно определить по формуле

Через точку проводим прямую перпендикулярную к Направление этой прямой на плоскости определяется с принятым правилом движения изображающей точки по часовой стрелке. Далее на отрезке этого перпендикуляра берут точку и находят точки А 2 и Затем строят отрезок, перпендикулярный на котором находят точку Пользуясь полученными наклонами, можно найти искомую фазовую траекторию. От длины отрезков зависит точность такого построения.

Пример XIV.7. Построить фазовый портрет для нелинейного дифференциального уравнения

при следующих начальных условиях: по методу Льёнара. Соответствующее построение выполнено на рис. XIV.20.

Рассмотрим несколько фазовых портретов, соответствующих нелинейным системам автоматического регулирования. На рис. XIV.21, а показан фазовый портрет для системы с зоной нечувствительности. Установившемуся состоянию равновесия при данной нагрузке соответствует не одна точка на фазовой плоскости, а отрезок с различными возможными состояниями равновесия (жирная линия). Длина этого отрезка зависит от ширины зоны нечувствительности.

На рис. XIV.21, б изображен фазовый портрет для нелинейной системы, неустойчивой в малом, но имеющей устойчивый предельный цикл в большом. На рис. XIV.21, в показан фазовый портрет системы, когда она устойчива в малом, а в большом — неустойчива. В этом случае предельный цикл называется неустойчивым. Неустойчивый предельный цикл характеризуется тем, что изображающая точка практически не может по нему двигаться. При небольшом увеличении отклонения под влиянием воздействий изображающая точка начнет удаляться от предельного цикла в бесконечность.

Возможны случаи, когда нелинейная система имеет несколькб предельных циклов. На рис. XIV.21, г изображен фазовый портрет с двумя

Рис. XIV.21. Особые траектории фазовых портретов нелинейных систем

предельными циклами. Первый из них, расположенный ближе к началу координат, является неустойчивым, а второй, более удаленный — устойчивым [26].

Существуют и такие нелинейные системы, у которых, на фазовом портрете (рис. XIV.21, д), кроме центра, появляются еще две особые точки типа седла, через которые проходят особые траектории, называемые сепаратрисами. Они разделяют всю фазовую плоскость на пять областей, из которых одна, замкнутая сепаратрисами, является областью устойчивого колебательного процесса. Все остальные области являются областями неустойчивых расходящихся процессов [26].