6. ЭЛЕКТРОННЫЕ АНАЛОГОВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА

Аналоговые вычислительные устройства широко применяют при решении целого ряда задач в системах автоматического регулирования. Принцип работы аналоговых устройств основан на том, что самые разнообразные по физической природе явления могут быть описаны аналогичными уравнениями (в большинстве случаев дифференциальными), а решение этих уравнений на аналоговом устройстве представляется в форме «машинных переменных», или «аналогов» физических параметров, характеризующих исследуемый процесс.

Структурно аналоговая вычислительная машина (АВМ) состоит из блоков, каждый из которых может выполнять определенные операции, необходимые для решения заданных уравнений. Основные решающие блоки АВМ выполняют математические операции сложения, вычитания, умножения на постоянную величину, получения функций произвольного аргумента, получения функций времени, умножения и деления двух величин, операции дифференцирования и интегрирования. Все функциональные блоки, осуществляющие эти операции, можно разделить на три группы: блоки линейных операций; блоки постоянных и переменных коэффициентов; блоки нелинейных и функциональных преобразований.

Структурную схему типовой АВМ можно представить в виде, показанном на рис. VI.33.

Основным элементом аналоговых вычислительных машин является операционный или решающий усилитель, позволяющий непосредственно реализовывать линейные операции при решении систем дифференциальных уравнений и в составе функциональных блоков выполнять многие нелинейные операции.

Рис. VI.33. Структурная схема типовой АВМ

Упрощенная схема операционного усилителя показана на рис. VI.34. Его основными составными частями являются электронный усилитель с большим коэффициентом усиления входная цепь и цепь обратной связи, имеющие соответственно импедансы Эти импедансы определяют соотношения между входным и выходным напряжением операционного усилителя и, следовательно, характер выполняемой им операции.

Основную формулу операционного усилителя для входной величины можно записать в виде

где — передаточная функция усилителя

Если входных величин несколько, то основная формула имеет вид

где

передаточная функция операционного усилителя по входу.

Формулы (VI.129) и (VI.130) показывают, что операционный усилитель имеет широкие возможности операторного преобразования входных величин, причем передаточная функция операционного усилителя определяется только отношением сопротивлений входных цепей и цепи обратной связи.

Суммирующий операционный усилитель. Если входная цепь и цепь обратной связи образованы резисторами, то операционный усилитель выполняет операцию суммирования входных сигналов.

В этом случае . Тогда основная формула (VI. 129) принимает вид

Выражение (VI. 131) показывает, что операционный усилитель, входные цепи и цепь обратной связи которого образованы резисторами, может выполнять следующие операции:

масштабное преобразование (умножение на постоянный коэффициент) входной величины (рис. VI.35, а);

суммирование нескольких сигналов с одновременным умножением каждого из них

Рис. VI.34. Упрощенная схема операционного усилителя

Рис. VI.35. Блок-схемы реализации арифметических операций с помощью операционного усилителя. а — умножения на постоянный коэффициент; б — сложения

Рис. VI.36. Блок-схема реализации операций интегрирования и дифференцирования с помощью операционного усилителя

на постоянный, различный для каждого сигнала, коэффициент (рис. VI.35,б).

Кроме того, электронная схема операционного усилителя построена таким образом, что входная и выходная величины имеют разные знаки, т. е. осуществляется инвертирование входного сигнала (или суммы входных сигналов).

Операции интегрирования и дифференцирования. Если в цепь обратной связи включена емкость С, а входная цепь состоит из резистора то усилитель выполняет операцию интегрирования (рис. VI.36, а). В соответствии с формулой (VI. 130)

Если входных цепей несколько, то интегрируется сумма входных величии

Наоборот, если во входную цепь включена емкость С, а обратная связь содержит резистор то усилитель выполняет операцию дифференцирования входного сигнала (рис. VI.36, б). В этом случае

и

Следует заметить, что на практике операционные усилители, работающие в режиме дифференцирования, используют редко, так как они вносят большие погрешности в решения при наличии случайных составляющих в дифференцируемом сигнале.

Операторное преобразование входных величин. Передаточная функция, воспроизводимая на операционном усилителе, в общем случае в соответствии с формулой (VI. 130) может быть записана в виде

где

Иначе говоря, является передаточной функцией, связывающей входную и выходную величины операционного усилителя. Выбирая соответствующий вид и можно воспроизвести на операционном усилителе типовые динамические звенья и их комбинации.

Схемы реализации некоторых типовых звеньев на операционном усилителе приведены в табл. VI.3. Такие схемы целесообразно применять в тех случаях, когда требуется обеспечить решение с использованием минимального числа операционных усилителей или же когда реализуемая передаточная функция стационарна, как это часто имеет место в корректирующих звеньях систем регулирования.

Однако такой метод имеет существенный недостаток при решении дифференциальных уравнений, так как не позволяет задавать начальные условия и изменять параметры передаточных функций независимо друг от друга.

Таблица VI.3 (см. скан) Схемы реализации простейших передаточных функций

Рис. VI.37. Блок-схема решения линейного однородного дифференциального уравнения четвертого порядка на АВМ

Решение дифференциальных уравнений. Аналоговые вычислительные устройства удобно применять для решения систем дифференциальных уравнений произвольного порядка, особенно в тех случаях, когда требуется получить множество решений при различных значениях параметров и видах входных воздействий. На АВМ легко решаются однородные и неоднородные линейные и нелинейные дифференциальные уравнения, хотя машинное решение каждого класса уравнений имеет свои особенности.

Решение линейных однородных уравнений. Пусть требуется получить переходные процессы в системе регулирования, описываемой однородным обыкновенным дифференциальным уравнением порядка.

Полагая уравнение запишем в виде

Наиболее просто это уравнение решать методом понижения порядка. Для этого оно разрешается относительно старшей производной

это эквивалентно системе уравнений первого порядка, если

Нетрудно видеть, что решение уравнения (VI. 137) или системы (VI. 138) сводится к образованию правой части в виде суммы производных со своими коэффициентами и последовательному -кратному интегрированию на операционных усилителях. Схема решения уравнения (VI. 137) на АВМ в общем виде (для случая ) приведена на рис. VI.37.

Недостатком этого способа решения является то, что при большом число потребных входов суммирующего усилителя может превысить возможности блока. В этом случае для решения уравнения (VI. 137) может быть применен другой способ.

Рис. V1.38. Преобразованная блок-схема решения линейного однородного дифференциального уравнения четвертого порядка на АВМ

Уравнение (VI.137) преобразуется в систему

Система уравнений (VI.139) эквивалентна исходному уравнению (VI.137). Это можно проверить, если продифференцировать первое уравнение системы (VI.139) раз и подставить в него остальные уравнения. В такой схеме каждая из промежуточных переменных образуется в результате суммирования не более чем двух величин. Схема решения линейного однородного дифференциального уравнения (для ) приведена на рис. VI.38.

Решение линейных неоднородных уравнений. Пусть необходимо решить на АВМ уравнения вида

Если использовать снова метод понижения порядка, то схема решения составляется по уравнению

Сложность непосредственного глоделирования такого уравнения заключается в необходимости формирования в общем случае производных входного воздействия При способ практически неприменим, поэтому для решения уравнений вида (VI. 152) применяют другие способы.

Метод вспомогательной переменной целесообразно применять для решения на АВМ неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. Тогда, учитывая структурные преобразования и возможность переноса дифференциатора через интегратор в системе с постоянными коэффициентами, уравнение (VI.140) можно записать в виде

где — вспомогательная переменная.

Обозначив приведем первое уравнение системы (VI.142) к системе уравнений первого порядка

Тогда второе уравнение системы (VI.142) для выходной переменной у запишется в виде

Совместное решение системы (VI.143) и уравнения (VI.144) не требует выполнения операции дифференцирования. Схема решения на в общем виде приведена на рис. VI.39.

Недостатком метода является необходимость дополнительных расчетов для определения начальных условий по промежуточным координатам в преобразованной системе.

Метод понижения порядка в сочетании с эквивалентным преобразованием. Применение этого метода рассмотрим на примере уравнения

Преобразуя его для решения на АВМ по методу понижения порядка, придем к схеме, показанной на рис. VI.40, а. Проведем некоторые эквивалентные преобразования в схеме. Сигнал в точке 1 (выход первого интегратора) определяется выражением

Для сигнала, пропорционального операция дифференцирования компенсируется интегрированием, иначе говоря, сигнал, проходящий через блок с коэффициентом можно перенести на выход первого интегратора, опустив операцию дифференцирования. Аналогично рассуждая, установим, что сигнал можно перенести в точку 2 и освободиться от операции двойного дифференцирования.

В результате выполненных эквивалентных преобразований схема решения примет вид, показанный на рис. VI.40, б.

Из схемы рис. VI.40, б имеем

Начальные условия на выходах интеграторов будут

Рис. VI.39. Блок-схема решения линейного неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка на АВМ

Рис. VI.40. Упрощенные блок-схемы решения линейного неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка, полученного по методу эквивалентных преобразований

Моделирование нелинейных операций. Нелинейные операции, выполняемые на решающих элементах АВМ, можно разделить на три группы:

1) типичные нелинейные операции (характеристики типа «ограничение», «люфт», «зона нечувствительности» и т. д.);

2) операции умножения и деления;

3) функциональные преобразования, реализующие нелинейные зависимости произвольной формы.

Первые две группы нелинейных операций воспроизводятся на базе операционных усилителей.

Типовые нелинейности реализуются с помощью схем операционных усилителей с диодными ячейками. Схемы реализации некоторых зависимостей приведены в табл. VI.4.

Таблица VI.4 (см. скан) Схемы реализации типичных нелинейностей

Рис. VI.41. Блок-схема реализации операции умножения

Рис. VI.42. Блок-схма реализации операции деления

Операция умножения, осуществляемая на квадраторных множительных устройствах, основана на соотношении

Схема аналогового устройства, реализующего зависимость (VI. 149), показана на рис. VI.41.

В схему, помимо суммирующих операционных усилителей, входят диодные квадраторы и схемы выделения модуля. Абсолютная погрешность множительного устройства такого типа составляет около 0,1 В.

Операция деления также может быть выполнена на базе операционного усилителя, если включить в его обратную связь блок умножения. Схема такого усилительного аналогового устройства показана на рис. VI.42. Деление выполняется на основе равенства

операционным усилителем при ограниченном значении выходной величины («машинной переменной») и весьма больших значениях коэффициента усиления электронного тракта операционного усилителя.

Равенство (VI. 150) практически является тождеством, поэтому

где масштабный множитель.

Такая схема деления обеспечивает точность 2%, если делитель представляет собой напряжение, не меньшее 0,1 полной машинной единицы для данного аналогового устройства.

Реализация корректирующих устройств систем регулирования. Достаточно большое число операций, воспроизводимых на аналоговых вычислительных устройствах, в сочетании с физической природой представления переменных в АВМ позволяет широко применять аналоговые элементы для реализации различных корректирующих устройств.

Линейные корректирующие устройства, обычно представляющие собой передаточные функции не выше второго порядка, реализуются с помощью схем, приведенных в табл. VI.3 и VI.4, либо подобных им схем в случае более сложных передаточных функций. В зависимости от особенностей конкретных систем применяют либо схемы с использованием -цепей, либо корректирующие устройства на базе структурных моделей.

С помощью аналоговых элементов можно также реализовать нелинейные корректирующие устройства с раздельной коррекцией амплитуды и фазы сигнала.

Рис. VI.43. Блок-схема реализации корректирующих устройств на АВМ: а — нелинейного; б — линейного

В качестве примера можно привести нелинейное корректирующее устройство (НКУ) (см. гл. VIII и XIV), структурная схема которого приведена на рис. VI.43, а. Передаточные функции в цепях НКУ имеют вид

Нелинейные зависимости реализуются с помощью схем, приведенных в табл. VI.4, а передаточные функции — с помощью схем, приведенных в табл. VI.3. Полная схема моделирования нелинейного корректирующего устройства приведена на рис. VI.43, б.