9. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Частотный метод построения переходных процессов заключается в графическом способе вычисления интеграла (XII.89). Представим кривую в виде суммы ряда типовых трапецеидальных кривых (рис. XII.27, а):

тогда

т. е.

Будем считать, что функция определяется с помощью следующего выражения:

Функция и представляет собой трапецеидальную частотную характеристику. Подставив выражение (XII.182) в формулу (XII.180), получим

откуда после ряда несложных преобразований найдем

где

Для составления таблиц функции В. В. Солодовников предложил использовать единичные трапецеидальные частотные характеристики, имеющие

Рис. XII.27. Трапецеидальные частотные характеристики: а — произвольная; б - еднничная

Таблица XII.I (см. скан) Параметры вещественной частотной характеристики

Рис. 11.28. Составляющие переходного процесса и результирующая характеристика для следящей системы

и коэффициент и, изменяющийся в пределах от 0 до 1,0 (рис. XII.27, б). Пользуясь этими характеристиками, переходную функцию В соответствии с формулой (XII. 184) можно представить в виде

откуда видно, что функции зависят только от одного параметра , и их можно представить в виде таблиц (см. прил. IV). С помощью этих таблиц можно вычислять переходные процессы в системах регулирования с точностью 2—5%.

Пример XII. 12. Построить переходный процесс в следящей системе при по вещественной частотной характеристике, приведенной на рис. XII.13, а. Разобьем вещественную частотную характеристику на четыре трапеции, как это показано на рис. XII. 13, б. Определим для каждой из трапеций значения и истинный масштаб времени

где интервал времени для расчетов по таблицам -функций.

Числовые значения этих параметров трапеций сведены в табл. XII.1. Выбрав интервал времени с помощью таблиц -функций (прил. IV) определим интересующие нас значения Полученные значения умножаем на высоту трапеции

Для рассматриваемого примера все вычисления сведены в табл. XII.2.

Откладывая по оси абсцисс значения а по оси ординат получим четыре доставляющие переходного процесса для каждой из трапеций (рис. XII.28). Складывая ординаты этих кривых, построим искомый переходный процесс По найденному переходному процессу можно определить следующие показатели качества: .

На основании этого примера сформулируем порядок построения переходного процесса по частотной характеристике замкнутой системы.

1. Разбиваем вещественную частотную характеристику на трапеций. Определяем для каждой из трапеций

2. Вычисляем для каждой из трапеций наклон

3. В зависимости от определяем интервал времени для расчета по таблицам -функций (чем больше коэффициент к, тем меньше должен быть выбран интервал времени ).

4. По вычисленному и выбранному находим по таблице (прил. V) соответствующие значения -функций.

(кликните для просмотра скана)

Рис. XII.29, Трапецеидальная характеристика

5. Полученные значения умножаем на высоты трапеций

6. Откладывая по оси значения а по оси ординат значения получим составляющие переходных процессов для каждой из трапеций.

7. Складывая ординаты этих кривых с учетом их знака, получим искомый переходный процесс

Переходный процесс в системах автоматического регулирования при отсутствии в функции нулевого полюса можно построить по формуле

которая получена по выражению (XII. 102).

Из формулы (XII. 187) следует, что для построения переходного процесса вначале необходимо найти мнимую обобщенную частотную характеристику построить характеристику и разбить ее на элементарные трапеции. Дальнейшие вычисления и построения ведут обычным путем.

Если входное воздействие, поступающее на систему автоматического регулирования, имеет сложную форму, то следует прибегать к формулам, связывающим значение импульсной переходной функции с характеристиками т. е.

или

Для вычисления этих интегралов график функций представим в виде ряда трапеций, одна из Которых показана на рис. XII.29.

Тогда

Обозначим

Из рис. XII.29 можно установить, что

Подставляя выражение (XII.194) в формулы (XII. 193), получим

Из выражения (XII. 195) можно получить

Подставив выражение (XII.196) в формулу (XII.191), найдем

Соответствующую формулу для можно определить следующим образом:

Из выражения (XII. 198) можно определить

Подставим полученное выражение в формулу (XII.192); тогда получим

Итак, формулы (XII. 197) и (XII.200) позволяют вычислять по заданной кривой

В системах автоматического регулирования возмущающее воздействие может быть приложено к любой точке системы. В этом случае изображение функции выходного сигнала записывается в виде

где — передаточная функция прямой цепи от точки приложения возмущающего воздействия до выхода.

Обозначим

Для определения действительной и мнимой частотных характеристик можно пользоваться следующим соотношением:

где

Для построения кривых по логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам служат специальные номограммы, изображенные на рис. XII.30 и XII.31. Номограмма на рис. XII.30 вычислена по формуле (XII.204) и представляет собой семейство кривых а номограмма на рис. XII.31 вычислена по формуле (X 11.205) для Значения определяют в точках пересечения кривых номограмм с логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой..

Пример XI 1.13. Для системы автоматического регулирования концентрации сернистого газа определить относительную концентрацию сернистой кислоты при ненулевых начальных условиях по выражению

Полученное выражение перепишем в форме

Примем, что параметры системы имеют следующие значения:

(кликните для просмотра скана)

Рис. XII.32. (см. скан) Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики внутреннего контура системы автоматического регулирования концентрации сернистого газа

Построим логарифмические частотные характеристики (рис. XI 1.32). Для построения характеристики была использована номограмма замыкания (рис. XI.30), на которой построена штрихпунктириой линией логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика по передаточной функции На рис. XII.33 построены логарифмические характеристики Здесь же на рисунке построены логарифмические характеристики для передаточной функции полученные сложением соответствующих частотных характеристик

Откладывая соответствующие значения на номограмме рис. XII.36, найдем мнимую характеристику Для построения переходного процесса в системе регулирования воспользуемся формулой (XII. 187), т. е. определим характеристику Данная характеристика построена на рис. XII.34. Разбивая ее на трапеции и пользуясь -функциями, получим результирующий переходный процесс в системе автоматического регулирования концентрации сернистого газа (рис. XII.35).

Рис. XII.33. (см. скан) Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики для системы автоматического регулирования концентрации сернистого газа

Рис. XII.34. Мнимая характеристики системы автоматического регулирования концентрации сернистого газа

Рис. ХII.35. Переходный процесс в системе автоматического регулирования концентрации сернистого газа при ненулевых начальных условиях