6. ОБОБЩЕННЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ И ИХ СВЯЗЬ С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Наибольшее распространение в инженерной практике для оценки показателей качества и построения переходных процессов в системах автоматического регулирования получили частотные методы, разработанные В. В. Солодовниковым [69]. Математической основой частотных методов анализа качества систем автоматического регулирования является обратное преобразование Лапласа, позволяющее получать вещественную и мнимую обобщенные частотные характеристики систем по изображению выходного сигнала системы 
. В свою очередь, по вещественной или мнимой обобщенным частотным характеристикам можно построить переходный процесс в системе по временной области.
Как известно [72], переходный процесс в системе определяется по формуле обратного преобразования Лапласа:
где с — абсцисса абсолютной сходимости функции 
Разобьем исходную функцию 
на два слагаемых: 
— регулярную часть (когда все корни характеристического уравнения функции 
расположены в левой полуплоскости); 
— нерегулярную часть (когда корни характеристического уравнения функции 
имеют положительные или равные нулю вещественные части):
Подставляя выражение (XII.69) в формулу (XII.68), получим
Учитывая, что первый интеграл выражения (XII.70) характеризует составляющую переходного процесса от регулярной части (т. е. 
), а второй интеграл — от нерегулярной части, можно записать, что
где
Регулярная часть функции 
является затухающей, т. е.
а нерегулярная часть может быть расходящейся илистремиться к постоянной величине. Возьмем первый интеграл в выражении (XII.70) и положим 
тогда
Представим, что
где 
— обобщенная вещественная частотная характеристика; 
— обобщенная мнимая частотная характеристика.
Подставиввыражение (XII.74) в интеграл (XII.73) и заменив по формуле Эйлера, получим
Так как функция 
— четная, 
— нечетная, то второй интеграл выражения (XII.75) равен нулю, т. е.
Будем считать, что воздействие приложено в момент времени 
тогда 
при 
, следовательно,
Заменяя в выражении (XII.77) t на 
получим
Сложим уравнения (XII.76) и (XII.78); тогда
Вычитая из уравнения (XII.76) уравнение (XII.78), получим
Изменим пределы интегрирования; тогда выражения (XII.79) и (XII.80) примут следующий вид:
Подставив полученные выражения в формулу (XI 1.71), найдем
С помощью формул 
можно вычислить переходные процессы, если известно 
Рассмотрим несколько конкретных случаев расположения полюсов функции 
Случай 1. Все полюсы функции 
расположены в левой полуплоскости, за исключением полюса в начале координат, т. е.
В этом случае 
так как при отсутствии нулевого полюса 
Из выражения (XII.69) найдем 
Подставим в полученное выражение зависимости (XII.83) и (XII.84); тогда
Подставим в формулу (XII.85) 
и обозначим
тогда выражение (XI 1.85) можно переписать в виде
откуда
Подставим эти значения в формулы (XII.82) и, учитывая, что 
получим
или
Случай 2. Все полюсы функции 
расположены в левой Полуплоскости, за исключением двух полюсов 6 начале координат, т. е.
тогда
Случай 3. Функция 
имеет два сопряженных полюса на мнимой оси; тогда
где 
— функция без особенностей во всей правой полуплоскости, включая и мнимую ось.
Нерегулярная часть
Следовательно,
Положив 
найдем
откуда
так как
Имея в виду выражения (XII.97) и (XII.98), на основании уравнения (XII.71) получим
Случай 4. Функция 
не имеет особенностей во всей правой полуплоскости и на мнимой оси. В этом случае функция 
имеет только регулярную часть; тогда по уравнению (XII.71) и выражением (XII.81) найдем
Из рассмотрения четырех случаев следует, что переходный процесс в системе определяется по обобщенной вещественной или обобщенной мнимой частоты, характеристик.
Для определения обобщенных вещественной и мнимой частотных характеристик воспользуемся выражением (XI 1.7), которое перепишем в виде
Функции, входящие в это выражение, представим в следующем виде:
где 
— вещественная частотная характеристика замкнутой системы; 
— мнимая частотная характеристика замкнутой системы;
где 
— вещественная частотная характеристика управляющего воздействия; 
— мнимая частотная характеристика управляющего воздействия;
где 
— вещественная частотная характеристика функции по начальным условиям; 
— мнимая частотная характеристика функции по начальным условиям.
В случае действия возмущения 
изображение которого есть 
Подставляя в уравнение (XII. 103) 
и пользуясь выражениями (XII.104)-(XII.106), получим
Если на систему автоматического регулирования действует единичное управляющее воздействие, т. е. 
а начальные условия являются нулевыми, то формулы (XI 1.88) и (XI1.89) примут вид
а формулы (XII.101) и (XII.102) будут
Эти формулы устанавливают связь между вещественной или мнимой частотными характеристиками и переходными процессами в системе автоматического регулирования, когда на ее входе действует 
, а начальные условия являются нулевыми. Перейдем к рассмотрению способов определения вещественных и миимых частотных характеристик по частотным характеристикам разомкнутых систем [69].
