6. ОБОБЩЕННЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ И ИХ СВЯЗЬ С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Наибольшее распространение в инженерной практике для оценки показателей качества и построения переходных процессов в системах автоматического регулирования получили частотные методы, разработанные В. В. Солодовниковым [69]. Математической основой частотных методов анализа качества систем автоматического регулирования является обратное преобразование Лапласа, позволяющее получать вещественную и мнимую обобщенные частотные характеристики систем по изображению выходного сигнала системы . В свою очередь, по вещественной или мнимой обобщенным частотным характеристикам можно построить переходный процесс в системе по временной области.

Как известно [72], переходный процесс в системе определяется по формуле обратного преобразования Лапласа:

где с — абсцисса абсолютной сходимости функции

Разобьем исходную функцию на два слагаемых: — регулярную часть (когда все корни характеристического уравнения функции расположены в левой полуплоскости); — нерегулярную часть (когда корни характеристического уравнения функции имеют положительные или равные нулю вещественные части):

Подставляя выражение (XII.69) в формулу (XII.68), получим

Учитывая, что первый интеграл выражения (XII.70) характеризует составляющую переходного процесса от регулярной части (т. е. ), а второй интеграл — от нерегулярной части, можно записать, что

где

Регулярная часть функции является затухающей, т. е.

а нерегулярная часть может быть расходящейся илистремиться к постоянной величине. Возьмем первый интеграл в выражении (XII.70) и положим тогда

Представим, что

где — обобщенная вещественная частотная характеристика; — обобщенная мнимая частотная характеристика.

Подставиввыражение (XII.74) в интеграл (XII.73) и заменив по формуле Эйлера, получим

Так как функция — четная, — нечетная, то второй интеграл выражения (XII.75) равен нулю, т. е.

Будем считать, что воздействие приложено в момент времени тогда при , следовательно,

Заменяя в выражении (XII.77) t на получим

Сложим уравнения (XII.76) и (XII.78); тогда

Вычитая из уравнения (XII.76) уравнение (XII.78), получим

Изменим пределы интегрирования; тогда выражения (XII.79) и (XII.80) примут следующий вид:

Подставив полученные выражения в формулу (XI 1.71), найдем

С помощью формул можно вычислить переходные процессы, если известно

Рассмотрим несколько конкретных случаев расположения полюсов функции

Случай 1. Все полюсы функции расположены в левой полуплоскости, за исключением полюса в начале координат, т. е.

В этом случае

так как при отсутствии нулевого полюса Из выражения (XII.69) найдем Подставим в полученное выражение зависимости (XII.83) и (XII.84); тогда

Подставим в формулу (XII.85) и обозначим

тогда выражение (XI 1.85) можно переписать в виде

откуда

Подставим эти значения в формулы (XII.82) и, учитывая, что получим

или

Случай 2. Все полюсы функции расположены в левой Полуплоскости, за исключением двух полюсов 6 начале координат, т. е.

тогда

Случай 3. Функция имеет два сопряженных полюса на мнимой оси; тогда

где — функция без особенностей во всей правой полуплоскости, включая и мнимую ось.

Нерегулярная часть

Следовательно,

Положив найдем

откуда

так как

Имея в виду выражения (XII.97) и (XII.98), на основании уравнения (XII.71) получим

Случай 4. Функция не имеет особенностей во всей правой полуплоскости и на мнимой оси. В этом случае функция имеет только регулярную часть; тогда по уравнению (XII.71) и выражением (XII.81) найдем

Из рассмотрения четырех случаев следует, что переходный процесс в системе определяется по обобщенной вещественной или обобщенной мнимой частоты, характеристик.

Для определения обобщенных вещественной и мнимой частотных характеристик воспользуемся выражением (XI 1.7), которое перепишем в виде

Функции, входящие в это выражение, представим в следующем виде:

где — вещественная частотная характеристика замкнутой системы; — мнимая частотная характеристика замкнутой системы;

где — вещественная частотная характеристика управляющего воздействия; — мнимая частотная характеристика управляющего воздействия;

где — вещественная частотная характеристика функции по начальным условиям; — мнимая частотная характеристика функции по начальным условиям.

В случае действия возмущения изображение которого есть

Подставляя в уравнение (XII. 103) и пользуясь выражениями (XII.104)-(XII.106), получим

Если на систему автоматического регулирования действует единичное управляющее воздействие, т. е. а начальные условия являются нулевыми, то формулы (XI 1.88) и (XI1.89) примут вид

а формулы (XII.101) и (XII.102) будут

Эти формулы устанавливают связь между вещественной или мнимой частотными характеристиками и переходными процессами в системе автоматического регулирования, когда на ее входе действует , а начальные условия являются нулевыми. Перейдем к рассмотрению способов определения вещественных и миимых частотных характеристик по частотным характеристикам разомкнутых систем [69].