7. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим стационарные объекты систем автоматического регулирования с различными видами передаточных функций.

Для объектов с параллельным соединением динамических элементов передаточную функцию запишем в виде

Если выражение разлагается на простые дроби:

где — постоянные коэффициенты; — корни полинома то можно получить следующее выражение:

Перепишем это выражение с использованием символа дифференцирования тогда

Предположив, что

получим

Из уравнения (IX. 176) следует, что переменная удовлетворяет системе дифференциальных уравнений:

Система уравнений (IX. 178) полностью аналогична векторно-матричному уравнению состояний

где

Одновременно с этим получим

здесь

Уравнения состояния (IX. 179) и (IX. 181) полностью характеризуют динамику объекта регулирования, структурная схема которого изображена на рис. IX. 15, а. Из структурной схемы видно, что каждая из составляющих передаточной функции образует самостоятельную параллельную ветвь.

Для объектов с последовательно соединенными элементами передаточную функцию запишем в виде

Если в качестве переменных состояния принять то получим систему дифференциальных уравнений

Выходной сигнал в этом случае

Уравнения состояния объекта в общем виде аналогичны выражениям (IX. 179) и (IX. 181). Матрица и столбцы для них будут следующими:

Рис. IX.15. Структурные схемы объектов регулирования с различным соединением динамических элементов

Структурная схема данного объекта регулирования представлена на рис. IX. 15, б.

Если применять объекты регулирования с передаточными функциями

где — нули передаточной функции, а порядок нуля меньше порядка полюса, то

В этом случае нетрудно получить структурную схему объекта в виде, изображенном на рис. IX. 15, в. С помощью этого рисунка составим следующую систему дифференциальных уравнений:

Очевидно, и для этого объекта уравнения состояний также записываются в виде (IX. 179) и (IX. 181), но со следующими матрицами и векторами:

Перейдем к составлению уравнений состояния для линейных стационарных систем автоматического регулирования. Для этого воспользуемся нормальными переменными состояния. В результате получим нормальную форму записи уравнений состояния. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть для исследуемой системы автоматического регулирования имеется передаточная функция в виде

или

В качестве переменных состояния примем

тогда для уравнений состояния (IX. 179) и (IX. 181) получим матрицу

и столбцы

Соответствующая этому случаю структурная схема изображена на рис. IX. 16, а.

Рис. IX.16. (см. скан) Структурные схемы линейных стационарных систем автоматического регулирования в переменных состояния

Случай 2. Исследуемая система автоматического регулирования имеет передаточную функцию вида

или

В качестве переменных состояния примем соотношения (IX. 190); тогда уравнение состояния системы можно записать в виде

и

где

В уравнениях (IX. 194) и (IX. 195) матрицы А и с совершенно одинаковы с матрицами А в (IX. 191) и с в (IX. 192), а векторы в них различные.

Соответствующая этому случаю схема изображена на рис. IX. 16, б.